Инструкция
1
По ряду причин для разложения функций больше всего подходят степенные ряды, то есть ряды, формула которых имеет вид:
f(z) = c0 + c1(z - a) + c2(z - a)^2 + c3(z - a)^3 + … + cn(z - a)^n + …
Число a называется в этом случае центром ряда. В частности, оно может быть равно нулю.
f(z) = c0 + c1(z - a) + c2(z - a)^2 + c3(z - a)^3 + … + cn(z - a)^n + …
Число a называется в этом случае центром ряда. В частности, оно может быть равно нулю.
2
Степенной ряд обладает радиусом сходимости. Радиус сходимости — такое число R, что если |z - a| R он расходится, при |z - a| = R возможны оба случая. В частности, радиус сходимости может быть равен бесконечности. В этом случае ряд сходится на всей действительной оси.
3
Известно, что степенной ряд можно почленно дифференцировать, причем сумма полученного ряда равна производной от суммы исходного ряда и имеет тот же радиус сходимости.
Основываясь на этой теореме, была выведена формула, называемая рядом Тейлора. Если функция f(z) может быть разложена в степенной ряд c центром a, то этот ряд будет иметь вид:
f(z) = f(a) + f′(a)*(z - a) + (f′′(a)/2!)*(z - a)^2 + … + (fn(a)/n!)*(z - a)^n,
где fn(a) — значение производной n-го порядка от f(z) в точке a. Обозначение n! (читается «эн факториал») заменяет произведение всех целых чисел от 1 до n.
Основываясь на этой теореме, была выведена формула, называемая рядом Тейлора. Если функция f(z) может быть разложена в степенной ряд c центром a, то этот ряд будет иметь вид:
f(z) = f(a) + f′(a)*(z - a) + (f′′(a)/2!)*(z - a)^2 + … + (fn(a)/n!)*(z - a)^n,
где fn(a) — значение производной n-го порядка от f(z) в точке a. Обозначение n! (читается «эн факториал») заменяет произведение всех целых чисел от 1 до n.
4
Если a = 0, то ряд Тейлора превращается в свой частный вариант, называемый рядом Маклорена:
f(z) = f(0) + f′(0)*z + (f′′(0)/2!)*z^2 + … + (fn(0)/n!)*z^n.
f(z) = f(0) + f′(0)*z + (f′′(0)/2!)*z^2 + … + (fn(0)/n!)*z^n.
5
Например, пусть требуется разложить в ряд Маклорена функцию e^x. Поскольку (e^x)′ = e^x, то все коэффициенты fn(0) будут равны e^0 = 1. Следовательно, общий коэффициент нужного ряда равняется 1/n!, а формула ряда выглядит следующим образом:
e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + … + (x^n)/n! + …
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, то есть он сходится при любом значении x. В частности, для x = 1 эта формула превращается в известное выражение для вычисления e.
e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + … + (x^n)/n! + …
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, то есть он сходится при любом значении x. В частности, для x = 1 эта формула превращается в известное выражение для вычисления e.
6
Расчет по данной формуле может быть легко выполнен даже вручную. Если уже известно n-ое слагаемое, то, чтобы найти (n + 1)-ое, достаточно умножить его на x и разделить на (n + 1).
