Инструкция
1
Фраза «день рождения» состоит из двух слов в именительном и родительном падежах соответственно. Второе является зависимым словом по отношению к первому. Аналоги: «День Конституции», «День сурка», «День Космонавтики», «День Военно-воздушных сил».
2
Второе слово формально является косвенным дополнением, а фактически – определением, характеризующим первое. День – какой? – рождения.
3
Существительное «рождения» используется в единственном числе, в родительном падеже. Относится к среднему роду, склоняется по второму типу, следовательно, имеет окончание «я».
4
Отглагольные существительные, к которым относится и слово «рождение», имеют два варианта написания окончания: «ие» или «ье»: мгновение – мгновенье, движение – движенье. Поэтому возможны варианты: рождение – рожденье. Во фразе, соответственно, будут использоваться варианты «день рождения» и «день рожденья».