Инструкция
1
Исследование поведения любой функции всегда следует начинать с поиска области определения. Обычно по условию конкретной задачи требуется определить наибольшее значение функции либо на всей этой области, либо на конкретном ее интервале с открытыми или закрытыми границами.
2
3
Чтобы определить наибольшее значение функции, следуйте алгоритму из трех этапов. Учтите, что вы должны уметь работать с односторонними и бесконечными пределами, а также вычислять производную. Итак, пусть задана некоторая функция y(x) и требуется найти ее наибольшее значение на некотором интервале с граничными значениями А и В.
4
Выясните, входит ли этот интервал в область определения функции. Для этого необходимо ее найти, рассмотрев все возможные ограничения: присутствие в выражении дроби, логарифма, квадратного корня и т.д. Область определения – это множество значений аргумента, при которых функция имеет смысл. Определите, является ли данный интервал его подмножеством. Если да, то переходите к следующему этапу.
5
Найдите производную функции и решите полученное уравнение, приравняв производную к нулю. Таким образом, вы получите значения так называемых стационарных точек. Оцените, принадлежит ли хоть одна из них интервалу А, В.
6
Рассмотрите на третьем этапе эти точки, подставьте их значения в функцию. В зависимости от типа интервала произведите следующие дополнительные действия. При наличии отрезка вида [А, В] граничные точки входят в интервал, об этом говорят квадратные скобки. Вычислите значения функции при х = А и х = В. Если открытый интервал (А, В), граничные значения являются выколотыми, т.е. не входят в него. Решите односторонние пределы для х→А и х→В. Комбинированный интервал вида [А, В) или (А, В], одна из границ которого принадлежит ему, другая – нет. Найдите односторонний предел при х, стремящемся к выколотому значению, а другое подставьте в функцию. Бесконечный двусторонний интервал (-∞, +∞) или односторонние бесконечные промежутки вида: [A, +∞), (A,+∞), (-∞; B], (-∞, B). Для действительных пределов А и В действуйте согласно уже описанным принципам, а для бесконечных ищите пределы для х→-∞ и х→+∞ соответственно.
7
Задача на этом этапе состоит в том, чтобы понять, соответствует ли стационарная точка наибольшему значению функции. Это так, если она превышает значения, полученные описанными способами. В случае, если задано несколько интервалов, стационарное значение учитывается только в том из них, который его перекрывает. Иначе рассчитывайте наибольшее значение по граничным точкам интервала. То же делайте в ситуации, когда стационарных точек попросту нет.
Видео по теме
Обратите внимание
Может получиться так, что односторонний предел примет бесконечное значение. Тогда однозначно определить наибольшее значение нельзя, можно лишь выявить максимальное значение (экстремум), к которому функция стремится.