Как найти расстояние между двумя параллельными плоскостями

Существует несколько способов задания плоскости: общее уравнение, направляющие косинусы вектора нормали, уравнение в отрезках и пр. Используя элементы конкретной записи, можно найти расстояние между плоскостями.

Инструкция

1. Плоскость в геометрии можно определить по-разному. Например, это поверхность, любые две точки которой соединяет прямая, которая также состоит из точек плоскости. По другому определению, это множество точек, находящихся на равном удалении от любых двух заданных, не принадлежащих ей.
2. Плоскость – простейшее понятие стереометрии, означающее плоскую фигуру, неограниченно направленную во все стороны. Признак параллельности двух плоскостей заключается в отсутствии пересечений, т.е. две заданные пространственные фигуры не имеют общих точек. Второй признак: если одна плоскость параллельна пересекающимся прямым, принадлежащим другой, то эти плоскости параллельны.
3. Чтобы найти расстояние между двумя параллельными плоскостями, нужно определить длину отрезка, перпендикулярного им. Концами этого отрезка являются точки, принадлежащие каждой плоскости. Кроме того, нормальные вектора также параллельны, а значит, если плоскости заданы общим уравнением, то необходимым и достаточным признаком их параллельности будет равенство отношений координат нормалей.
4. Итак, пусть заданы плоскости A1•х + B1•у + C1•z + D1 = 0 и A2•х + B2•у + C2•z + D2 = 0, где Ai, Bi, Ci – координаты нормалей, а D1 и D2 – расстояния от точки пересечения координатных осей. Плоскости параллельны, если:A1/A2 = B1/B2 = C1/C2, а расстояние между ними можно найти по формуле:d = |D2 – D1|/√(|A1•A2| + B1•B2 + C1•C2).
5. Пример: даны две плоскости х + 4•у - 2•z + 14 = 0 и -2•х - 8•у + 4•z + 21 = 0. Определить, параллельны ли они. Если да, то найти расстояние между ними.
6. Решение.A1/A2 = B1/B2 = C1/C2 = -1/2 – плоскости параллельны. Обратите внимание на присутствие коэффициента -2. Если D1 и D2 соотносятся друг с другом с тем же коэффициентом, то плоскости совпадают. В нашем случае это не так, поскольку 21•(-2) ≠ 14, следовательно, можно найти расстояние между плоскостями.
7. Разделите для удобства второе уравнение на величину коэффициента -2:х + 4•у - 2•z + 14 = 0;х + 4•у - 2•z – 21/2 = 0.Тогда формула примет вид:d = |D2 – D1|/√(A² + B² + C²) = |14 + 21/2|/√(1 + 16 + 4) ≈ 5,35.