Инструкция
1
Диагонали параллелограмма обладают рядом свойств, знание которых помогает в решении геометрических задач. В точке пересечения они делятся пополам, являясь биссектрисами пары противоположных углов фигуры, меньшая диагональ – для тупых углов, а большая – острых. Соответственно, при рассмотрении пары треугольников, которые получаются из двух смежных сторон фигуры и одной из диагоналей, половина другой диагонали – это еще и медиана.
2
Треугольники, образованные половинами диагоналей и двумя параллельными сторонами параллелограмма, подобны. Кроме того, любая диагональ делит фигуру на два одинаковых треугольника, графически симметричных относительно совместного основания.
3
Чтобы найти большую диагональ параллелограмма, можно воспользоваться общеизвестной формулой соотношения суммы квадратов двух диагоналей и удвоенной суммы квадратов длин сторон. Она является прямым следствием из свойств диагоналей:d1² + d2² = 2•(a² + b²).
4
Пусть d2 – большая диагональ, тогда формула преобразуется к виду:d2 = √(2•(a² + b²) – d1²).
5
Примените эти знания на практике. Пусть задан параллелограмм со сторонами a=3 и b=8. Найдите большую диагональ, если известно, что она на 3 см больше меньшей.
6
Решение.Запишите формулу в общем виде, введя известные из исходных данных величины a и b:d1² + d2² = 2•(9 + 64) = 146.
7
Выразите длину меньшей диагонали d1 через длину большей согласно условию задачи:d1 = d2 - 3.
8
Подставьте это выражение в первое уравнение:(d2 - 3)² + d2² = 146
9
Возведите значение в скобке в квадрат:d2² – 6•d2 + 9 + d2² = 1462•d2² – 6•d2 – 135 = 0
10
Решите полученное квадратное уравнение относительно переменной d2 через дискриминант:D = 36 + 1080 = 1116.d2 = (6 ± √1116)/4 ≈ [9,85; -6,85].Очевидно, что длина диагонали – положительная величина, следовательно, она равна 9,85 см.
