Как найти вторую производную функции

Дифференциальные исчисления – раздел математического анализа, который изучает производные первого и высших порядков как один из методов исследования функций. Вторая производная некоторой функции получается из первой повторным дифференцированием.

Инструкция

1. Производная некоторой функции в каждой точке имеет определенное значение. Таким образом, при ее дифференцировании получается новая функция, которая также может быть дифференцируема. В этом случае ее производная называется второй производной исходной функции и обозначается F’’(x).
2. Первой производной называется предел приращения функции к приращению аргумента, т.е.:F’(x) = lim (F(x) – F(x_0))/(x – x_0) при x → 0.Второй производной исходной функции является производная функции F’(x) в той же точке x_0, а именно:F’’ (x) = lim (F’(x) – F’(x_0))/(x – x_0).
3. Для нахождения вторых производных сложных функций, которые трудно определить обычным способом, применяют методы численного дифференцирования. При этом для расчета используют приближенные формулы:F’’(x) = (F(x + h) – 2*F(x) + F(x - h))/h^2 + α(h^2)F’’(x) = (-F(x + 2*h) + 16*F(x + h) – 30*F(x) + 16*F(x - h) – F(x – 2*h))/(12*h^2) + α(h^2).
4. Основа методов численного дифференцирования – аппроксимация интерполяционным многочленом. Приведенные формулы получаются в результате двойного дифференцирования интерполяционных многочленов Ньютона и Стирлинга.
5. Параметр h является шагом аппроксимации, принятым для расчетов, а α(h^2) – это погрешность аппроксимации. Аналогично α(h) для первой производной эта бесконечно малая величина обратно пропорциональна h^2. Соответственно, она тем больше, чем меньше длина шага. Поэтому для минимизации погрешности важно выбрать самое оптимальное значение h.Выбор оптимального значения h называется регуляризацией по шагу. При этом полагают, что есть такое значение h, что верно:|F(x + h) – F(x)| > ε, где ε – некоторая малая величина.
6. Существует другой алгоритм минимизации погрешности аппроксимации. Он состоит в выборе нескольких точек области значений функции F вблизи начальной точки x_0. Затем вычисляются значения функции в этих точках, по которым строится линия регрессии, которая является сглаживающей для F на малом интервале.
7. Полученные значения функции F представляют собой частичную сумму ряда Тейлора:G(x) = F(x) + R, где G(x) – сглаженная функция с погрешностью аппроксимации R. После двукратного дифференцирования получим:G’’(x) = F’’(x) + R’’, откуда R’’ = G’’(x) – F’’(x).Величина R’’ как отклонение приближенного значения функции от ее истинного значения и будет минимальной погрешностью аппроксимации.