О числе ноль

Число ноль – необычное, даже абстрактное. По сути, оно представляет то, чего нет. Изначально числа требовались людям для того, чтобы вести счет, а для этих целей ноль был не нужен. Поэтому долгое время его не использовали или же обозначали отвлеченными символами, не имеющими отношения к математике. Например, в Древней Греции числа 28 и 208 различали, используя что-то наподобие современных кавычек ", тогда 208 записывалось как 2"8. Условные обозначения были в ходу у древних египтян, китайцев, племен Центральной Америки.

На Востоке ноль начали использовать гораздо раньше, чем в Европе. Например, он встречается в индийских трактатах, относящихся к временам до нашей эры. Затем это число появилось у арабов. Европейцы же долгое время использовали то римские цифры, то условные обозначения чисел, содержащих ноль. И только к 13 веку математик Фибоначчи из Италии заложил основы его появления в европейской науке. Окончательно приравнять ноль в правах с другими числами удалось ученому Леонарду Эйлеру в 18 веке.


Ноль настолько неоднозначен, что в русском языке даже произносится по-разному. В косвенных падежах и прилагательных (таких как нулевой) принято употреблять форму «нуль». Для именительного падежа предпочтительнее использование с буквой «о».

Как же определяет ноль математика? Безусловно, у него есть свои свойства и признаки:

  • ноль принадлежит множеству целых чисел, которое содержит также натуральные и отрицательные числа;
  • ноль является четным, поскольку при делении на 2 получается целое число, а при сложении с ним другого четного числа результат также получится четным, например 6+0=6;
  • у нуля нет положительного или отрицательного знака;
  • при сложении или вычитании нуля второе число остается неизменным;
  • умножение на ноль всегда дает нулевой результат, как и деление нуля на любое отличное от него число.

Алгебраическое обоснование невозможности деления на ноль

Для начала стоит отметить, что основные математические операции не равнозначны. Особое место среди них отводится сложению и умножению. Только они отвечают принципам коммутативности (переместительности), ассоциативности (независимости результата от порядка вычисления), биективности (существования обратной операции). Вычитанию и делению отводится роль вспомогательных арифметических действий, которые лишь немного в другом виде представляют основные операции – сложение и умножение соответственно.


К примеру, если рассматривать поиск разности чисел 9 и 5, то его можно представить в виде суммы неизвестного числа а и числа 5: а+5=9. Также происходит и в случае с делением. Когда необходимо вычислить 12:4, это действие можно представить в виде уравнения а×4=12. Таким образом, из деления всегда можно вернуться к умножению. В случае делителя, равного нулю, запись 12:0 представляется в виде а×0=12. Но, как известно, умножение любого числа на ноль равно нулю. Получается, что такое деление не имеет смысла.

Согласно школьной программе, с помощью умножения в примере 12:0 можно проверить правильность найденного результата. Но подставляя в произведение а×0 любые числа, невозможно получить ответ 12. Верного ответа при делении на ноль попросту не существует.

Другой наглядный пример: берутся два числа m и n, каждое умножается на ноль. Тогда m×0=n×0. Если предположить, что деление на ноль допустимо, поделив обе части равенства, получаем m=n – абсурдный результат.

Неопределенность вида 0:0

Стоит отдельно рассмотреть возможность деления 0/0, ведь в таком случае при проверке а×0=0 получается верный ответ. Остается только найти число а. Здесь подойдет любой вариант, какой бы ни пришел на ум. А значит, решение не имеет единственного верного результата. Этот случай в математике называется неопределенностью вида 0/0.

Приведенные доказательства – самые простые и не требуют привлечения дополнительных знаний за рамками школьного курса.

Применение средств математического анализа

Решение проблемы деления на ноль иногда представляют, приближая делитель к бесконечно малым значениям. Приведя простой пример, можно заметить, как резко возрастает при этом частное:

500:10=50;

500:0,1=5000;

500:0,01=50000;

500:0,0000001=5000000000.

А если брать еще меньшие числа, будут получаться гигантские величины. Наглядно такое бесконечно малое приближение отображает график функции f(x)=1/x.


График показывает, что, с какой бы стороны не происходило приближение к нулю (слева или справа), ответ будет приближаться к бесконечности. В зависимости от того, в каком поле происходит приближение (отрицательных или положительных чисел), ответом будет +∞ или -∞. Некоторые калькуляторы как раз и приводят такой результат деления на ноль.

На понятиях бесконечно малых и бесконечно больших величин основана теория пределов. Для этого строится расширенная числовая прямая, в которой существуют две бесконечно удаленные точки +∞ или -∞ - абстрактные границы этой прямой и всего множества вещественных чисел. Решением примера с вычислением предела функции 1/x при х→0 будет ∞ со знаком   ̶  или +. Использование предела – это не деление на ноль, а попытка приблизиться к этому делению и поиску решения.


С помощью инструментов математического анализа можно наглядно представить многие физические законы и постулаты. Взять, к примеру, формулу массы движущегося тела из теории относительности:

 m=mo/√(1-v²/c²), где mo – масса тела в состоянии покоя, v – его скорость при движении.

Из формулы заметно, что при v→с знаменатель будет стремится к нулю, а масса m→∞. Такой исход недостижим, поскольку с увеличением массы растет количество энергии, необходимой для возрастания скорости. В знакомом всем материальном мире подобных энергий не существует.

Теория пределов специализируется также на раскрытии неопределенностей, возникающих при попытке подстановки аргумента х в формулу функции f(x). Существуют алгоритмы решений для 7 неопределенностей, в том числе для хорошо известной – 0/0. Для раскрытия таких пределов в ход идет представление числителя и знаменателя в виде множителей с последующим сокращением дроби. Иногда в решении подобных задач применяют правило Лопиталя, по которому предел отношения функций и предел отношения их производных равны между собой.

По мнению многих математиков, термин ∞ не решает вопрос деления на ноль, поскольку не имеет числового выражения. Это уловка, вновь подтверждающая невозможность данной операции.

Деление на ноль в высшей математике

Студенты технических специальностей ВУЗов все-таки добираются до окончательного решения судьбы деления на ноль. Правда, для поиска ответа приходится покинуть привычную и знакомую числовую прямую и перейти в другую математическую структуру – колесо. Для чего нужны такие алгебраические структуры? В первую очередь – для допустимости применения к множествам, не подходящим под другие стандартные понятия. Для них задаются свои аксиомы, на основе которых строится взаимодействие внутри структуры.

Для колеса определяется самостоятельная операция деления, которая не является обратной умножению, и вместо двух операторов х/у использует только один - /х. Причем результат такого деления не будет равен х, поскольку обратным числом для него не является. Тогда запись х/у расшифровывается как х·/у=/у·х. Среди других важных правил, действующих в колесе:

х/х≠1;

0х≠0;

х-х≠0.

Колесо предполагает соединение двух концов числовой прямой в одну точку, обозначенную символом ∞, не имеющим знака. Это условный переход из бесконечно малых чисел к бесконечно большим. В новой структуре пределы функции f(x)=1/x при х→0 будут совпадать по модулю независимо, с какой стороны ведется приближение – слева или справа. Из этого следует допустимость деления на ноль для колеса: х/0=∞ для х≠0.

Для неопределенности вида 0/0 вводится отдельный элемент _I_, дополняющий уже известное множество чисел. Он раскрывает и объясняет особенности колеса, при этом позволяя верно работать тождествам дистрибутивного закона.


Пока математики рассуждают о делении на ноль и придумывают сложные миры чисел, простые люди относятся к этому действу с юмором. Интернет полон забавных мемов и предсказаний, что же ждет человечество, когда оно найдет ответ на одну из главных загадок математики.