Что такое последовательность Фибоначчи

Последовательностью Фибоначчи называют числовой ряд, в котором первые два числа равны 1 и 1 (вариант: 0 и 1), а каждое следующее число является суммой двух предыдущих.

Чтобы определение стало понятней, посмотрите, как выбираются числа для последовательности:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 5 = 8
  • 5 + 8 = 13

И так сколь угодно долго. В итоге последовательность выглядит так:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 и т. д.

Для незнающего человека эти числа выглядят только как результат цепочки сложений, не более того. Но не все так просто.

Как Фибоначчи вывел свой знаменитый ряд

Последовательность носит имя итальянского математика Фибоначчи (настоящее имя - Леонардо Пизанский), который жил XII-XIII веках. Он не был первым человеком, нашедшим этот ряд чисел: ранее его уже использовали в Древней Индии. Но именно пизанец открыл последовательность для Европы.

В круг интересов Леонардо Пизанского входило составление и решение задач. Одной из них была о размножении кроликов.

Условия такие:

  • на идеальной ферме за забором живут кролики и никогда не умирают;
  • первоначально животных двое: самец и самочка;
  • на второй и в каждый последующий месяц своей жизни пара рождает новую (кролик плюс крольчиха);
  • каждая новая пара точно также со второго месяца существования производит новую пару и т.д.

Вопрос задачи: сколько пар животных будет на ферме через год?

Если провести подсчеты, то число кроличьих пар будет расти так:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.

То есть, их количество будет увеличиваться в соответствии с описанной выше последовательностью.

Ряд Фибоначчи и число Ф

Но применение чисел Фибоначчи не ограничилось решением задачи про кроликов. Выяснилось, что у последовательности немало примечательных свойств. Самое известное заключается в отношениях чисел ряда к предыдущим значениям.

Рассмотрим по порядку. С делением единицы на единицу (результат равен 1), а затем двойки на единицу (частное 2) все понятно. Но далее результаты деления соседних членов друг на друга весьма любопытны:

  • 3 : 2 = 1,5
  • 5 : 3 = 1,667 (округленно)
  • 8 : 5 = 1,6
  • 13 : 8 = 1,625
  • ...
  • 233 : 144 = 1,618 (округленно)

Результат деления любого числа Фибоначчи на предыдущее (кроме самых первых) оказывается близок к так называемому числу Ф(фи) = 1,618. И чем больше делимое и делитель, тем ближе частное к этому необычному числу.

А чем же оно, число Ф, примечательно?

Число Ф выражает отношение двух величин a и b (a при это больше, чем b), когда справедливо равенство:

a/b = (a+b)/a.

То есть, числа в этом равенстве должны быть подобраны так, чтобы деление а на b давало такой же результат, как и деление суммы этих чисел на а. И всегда этот результат будет 1,618.

Строго говоря, 1,618 - это округление. Дробная часть числа Ф длится до бесконечности, так как это иррациональная дробь. Вот так оно выглядит с первыми десятью цифрами после запятой:

Ф = 1,6180339887

В процентном соотношении числа а и b составляют примерно 62% и 38% от их суммы.

При использовании подобного соотношения в построении фигур получаются гармоничные и приятные человеческому глазу формы. Поэтому соотношение величин, которые при деление большего на меньшее дают число Ф называют «золотым сечением». Само число Ф именуется «золотым числом».

Получается, что кролики Фибоначчи размножались в «золотой» пропорции!

Сам термин «золотое сечение» часто связывают с Леонардо да Винчи. На самом деле, великий художник и ученый хотя и применял этот принцип в своих произведениях, такую формулировку не использовал. Название впервые было письменно зафиксировано гораздо позже - в XIX веке, в работах немецкого математика Мартина Ома.

Спираль Фибоначчи и спираль «золотого сечения»

На основе чисел Фибоначчи и «золотого сечения» можно построить спирали. Иногда эти две фигуры отождествляют, но точнее говорить о двух разных спиралях.

Спираль Фибоначчи строят так:

  • чертят два квадрата (одна сторона общая), длина сторон равна 1 (сантиметр, дюйм или клетка - неважно). Получается поделенный надвое прямоугольник, длинная сторона которого равна 2;
  • к длинной стороне прямоугольника пририсовывают квадрат со стороной 2. Получается изображение прямоугольника, поделенного на несколько частей. Длинная сторона его равна 3;
  • процесс продолжают сколь угодно долго. При этом новые квадраты «присоединяют» подряд только по или только против часовой стрелки;
  • в самом первом квадратике (со стороной 1) чертят от угла до угла четвертинку окружности. Затем без перерыва чертят подобную линию в каждом следующем квадрате.

В итоге получают красивую спираль, радиус которой постоянно и пропорционально увеличивается.

Спираль «золотого сечения» рисуют наоборот:

  • строят «золотой прямоугольник», стороны которого соотносятся в одноименной пропорции;
  • выделяют внутри прямоугольника квадрат, стороны которого равны короткой стороне «золотого прямоугольника»;
  • при этом внутри большого прямоугольника окажется квадрат и прямоугольник поменьше. Тот, в свою очередь, тоже окажется «золотым»;
  • малый прямоугольник делят по тому же принципу;
  • процесс продолжают сколь угодно долго, располагая каждый новый квадрат спиралеообразно;
  • внутри квадратиков рисуют соединенные между собой четверти окружности.

Так получается логарифмическая спираль, которая растет в соответствии с золотым сечением.

Спираль Фибоначчи и «золотая» очень похожи. Но есть главное отличие: у фигуры, построенной по последовательности пизанского математика, есть начальная точка, хотя  конечной - нет. А вот «золотая» спираль закручивается «внутрь» до бесконечно малых чисел, как и раскручивается «во вне» до бесконечно больших.

Примеры применения

Если термин «золотое сечение» сравнительно нов, то сам принцип был известен с древности. В том числе, он применен при создании таких всемирно известных культурных объектов:

  • Египетская пирамида Хеопса (примерно 2600 год до н. э.)
  • Древнегреческий храм Парфенон (V век до н.э.)
  • работы Леонардо да Винчи. Ярчайший пример -«Мона Лиза» (начало XVI века).

Использование «золотого сечения» - один из ответов на загадку, почему перечисленные произведения искусства и архитектуры кажутся нам прекрасными.

«Золотое сечение» и последовательность Фибоначчи легли в основу лучших произведений живописи, архитектуры, скульптуры. И не только. Так, Иоганн Себастьян Бах использовал его в некоторых из своих музыкальных произведений.

Числа Фибоначчи пригодились даже в финансовой сфере. Их используют трейдеры, торгующие на фондовом и валютных рынках.

«Золотое сечение» и числа Фибоначчи в природе

Но почему же мы так восхищаемся произведениями искусства, в которых применено «золотое сечение»? Ответ прост: эта пропорция задана самой природой.

Вернемся к спирали Фибоначчи. Именно так закручены спирали многих моллюсков. Например, наутилуса.

Подобные спирали встречаем и в растительном мире. Например, так формируются соцветия брокколи романеско и подсолнуха, а также шишки сосны.

Строение спиральных галактик тоже соответствует спирали Фибоначчи. Напомним, что к таким галактикам относится и наша - Млечный Путь. А также одна из ближайших к нам - Галактика Андромеды.

Последовательность Фибоначчи также отражается в расположении листьев и ветвей у разных растений. Числам ряда соответствует количество цветков, лепестков во многих соцветиях. Длины фаланг человеческих пальцев тоже соотносятся примерно как числа Фибоначчи - или как отрезки в «золотом сечении».

Вообще, о человеке нужно сказать отдельно. Мы считаем красивыми те лица, части которых точно соответствуют пропорциям «золотого сечения». Хорошо сложенными воспринимаются фигуры, если части тела соотносятся по тому же принципу.

Строение тел многих животных тоже сочетается с этим правилом.

Подобные примеры подвигают некоторых людей к мысли, что «золотое сечение» и последовательность Фибоначчи лежат в основе мироздания. Будто бы все: и человек, и окружающая его среда и вся Вселенная соответствуют этим принципам. Не исключено, что в будущем человек найдет новые доказательства гипотезы и сумеет создать убедительную математическую модель мира.