Инструкция
1
На рис. 1 треугольник достроен до соответствующего ему параллелограмма. При этом известно, что в точке пересечения диагоналей параллелограмма они делятся пополам. Поэтому АО является медианой треугольника АВС, опущенная из А на сторону ВС.
Из этого можно заключить, что необходимо найти угол φ между стороной АС треугольника и медианой АО. Такой же угол, в соответствии с рис. 1, имеется между вектором а и вектором d, соответствующим диагонали параллелограмма AD. По правилу параллелограмма вектор d равен геометрической сумме векторов a и b, d = a + b.
Из этого можно заключить, что необходимо найти угол φ между стороной АС треугольника и медианой АО. Такой же угол, в соответствии с рис. 1, имеется между вектором а и вектором d, соответствующим диагонали параллелограмма AD. По правилу параллелограмма вектор d равен геометрической сумме векторов a и b, d = a + b.
2
Остается найти способ определения угла φ. Для этого следует использовать скалярное произведение векторов. Скалярное произведение удобнее всего определить на основе тех же векторов a и d, которое определяется по формуле (a, d)= |a||d|cosφ. Здесь φ – угол между векторами a и d. Поскольку скалярное произведение векторов, заданных координатами, определяется выражением:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, то
cosφ=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)). Кроме того, сумма векторов в координатной форме определяется выражением: d(dx, dy) = a(ax, ay) + b(bx, by)= {ax+bx, ay+by}, то есть dx= ax+bx, dy=ay+by.
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, то
cosφ=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)). Кроме того, сумма векторов в координатной форме определяется выражением: d(dx, dy) = a(ax, ay) + b(bx, by)= {ax+bx, ay+by}, то есть dx= ax+bx, dy=ay+by.
3
Пример. Треугольник АВС задан векторами a(1,1) и b(2, 5) в соответствии с рис.1. Найти угол φ между его медианой АО и стороной треугольника АС.
Решение. Как уже было показано выше, для этого достаточно найти угол между векторами а и d.
Этот угол задается его косинусом и вычисляется в соответствии со следующим тождеством
cosφ=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
1. d(dx, dy) = {1+2, 1+5} = d(3, 6).
2. cosφ=(3+6)/(sqrt(1+1)sqrt(9+36))=9/(3sqrt(10))=3/sqrt(10).
φ=arcos(3/sqrt(10)).
Решение. Как уже было показано выше, для этого достаточно найти угол между векторами а и d.
Этот угол задается его косинусом и вычисляется в соответствии со следующим тождеством
cosφ=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).
1. d(dx, dy) = {1+2, 1+5} = d(3, 6).
2. cosφ=(3+6)/(sqrt(1+1)sqrt(9+36))=9/(3sqrt(10))=3/sqrt(10).
φ=arcos(3/sqrt(10)).