Как решать иррациональные неравенства

Если в неравенстве есть функции под знаком корня, то это неравенство называется иррациональным. Основные методы решения иррациональных неравенств: замена переменных, равносильное преобразование, а также метод интервалов.

Вам понадобится

• - математический справочник;
• - калькулятор.

Инструкция

1. Самый распространенный способ решения таких неравенств заключается в том, что обе части неравенства возводятся в нужную степень, то есть, если в неравенстве есть квадратный корень, то обе части возводятся во вторую степень, если корень в третьей степени – в куб и так далее. Но есть одно «но»: возводить в квадрат можно лишь те неравенства, обе части которого неотрицательные. В противном случае, если вы возведете в квадрат отрицательные части неравенства, то этим можете нарушить его равносильность, ведь при возведении во вторую степень у вас получатся как равносильные, так и неравносильные исходному неравенству значения. К примеру, –1

   Напишите, а после решите равносильную систему для неравенства следующего типа: √f (x) 0. Учитывая, что и первая, и вторая часть иррационального неравенства неотрицательные, возведение этих значений в квадрат не нарушает равносильности отдельных частей неравенства. Таким образом, получается следующая равносильная система неравенств, как на приведенном изображении.

   
   

   После возведения обоих частей неравенства в необходимую степень, решайте получившееся квадратное неравенство (ax2 + bx + c > 0) через нахождение дискриминанта. Дискриминант находите по формуле: D = b2 - 4ac. Найдя значение дискриминанта, рассчитайте х1 и х2. Для этого подставьте значения квадратного неравенства в следующие формулы: х1 = (-b + sqrt (D)) / 2a и х2 = (-b - sqrt (D)) / 2a.
2. Напишите, а после решите равносильную систему для неравенства следующего типа: √f (x) 0. Учитывая, что и первая, и вторая часть иррационального неравенства неотрицательные, возведение этих значений в квадрат не нарушает равносильности отдельных частей неравенства. Таким образом, получается следующая равносильная система неравенств, как на приведенном изображении.
3. После возведения обоих частей неравенства в необходимую степень, решайте получившееся квадратное неравенство (ax2 + bx + c > 0) через нахождение дискриминанта. Дискриминант находите по формуле: D = b2 - 4ac. Найдя значение дискриминанта, рассчитайте х1 и х2. Для этого подставьте значения квадратного неравенства в следующие формулы: х1 = (-b + sqrt (D)) / 2a и х2 = (-b - sqrt (D)) / 2a.