Как составить уравнение плоскости

Плоскость является одним из основных понятий, связывающих планиметрию и стереометрию (разделы геометрии). Эта фигура также часто встречается в задачах по аналитической геометрии. Чтобы составить уравнение плоскости, достаточно иметь координаты трех ее точек. Для второго основного способа составления уравнения плоскости необходимо указать координаты одной точки и направление нормального вектора.

Вам понадобится

• - калькулятор.

Инструкция

1. Если известны координаты трех точек, через которые проходит плоскость, то запишите уравнение плоскости в виде определителя третьего порядка. Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти три точки, выглядит следующим образом:
   
   │ x-x1 y-y1 z-z1 │
   │x2-x1 y2-y1 z2-z1│ = 0
   │x3-x1 y3-y1 z3-z1│
2. Пример: составить уравнение плоскости, проходящей через три точки с координатами: (-1; 4; -1), (-13; 2; -10), (6; 0; 12).
   
   Решение: подставляя координаты точек в вышеприведенную формулу, получим:
   
   │x+1 y-4 z+1 │
   │-12 -2 -9 │ =0
   │ 7 -4 13 │
   
   В принципе, это и есть уравнение искомой плоскости. Однако если разложить определитель по первой строке, то получится более простое выражение:
   
   -62*(х+1) + 93*(у-4) + 62*(z+1) = 0.
   
   Разделив обе части уравнения на 31 и приведя подобные, получим:
   
   -2х+3у+2z-12=0.
   
   Ответ: уравнение плоскости, проходящей через точки с координатами
   
   (-1; 4; -1), (-13; 2; -10) и (6; 0; 12)
   
   -2х+3у+2z-12=0.
3. Если уравнение плоскости, проходящей через три точки, требуется составить без использования понятия «определитель» (младшие классы, тема – системы линейных уравнений), то воспользуйтесь следующим рассуждением.
   
   Уравнение плоскости в общем виде имеет вид Ах+ВуСz+D=0, причем одной плоскости соответствует множество уравнений с пропорциональными коэффициентами. Для простоты вычислений параметр D обычно принимают равным 1, если плоскость не проходит через начало координат (для плоскости, проходящей через начало координат, D=0).
4. Так как координаты точек, принадлежащих плоскости, должны удовлетворять вышеприведенному уравнению, то в итоге получается система из трех линейных уравнений:
   
   -A+4B-C+1=0
   -13A+2B-10C+1=0
   6A+12C+1=0,
   
   решив которую и избавившись от дробей, получим вышеприведенное уравнение
   
   (-2х+3у+2z-12=0).
5. Если заданы координаты одной точки (х0, у0, z0) и координаты вектора нормали (А, В, С), то чтобы составить уравнение плоскости, просто запишите уравнение:
   
   А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0.
   
   После приведения подобных это и будет уравнением плоскости.
6. Если требуется решить задачу составления уравнения плоскости, проходящей через три точки, в общем виде, то разложите уравнение плоскости, записанной через определитель, по первой строке:
   (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
   Хотя это выражение и более громоздкое, зато в нем не используется понятие определителя и оно более удобно для составления программ.