Как привести уравнение кривой к каноническому виду

Когда ставится вопрос о приведении уравнения кривой к каноническому виду то, как правило, имеются в виду кривые второго порядка. Плоской кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением вида: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, здесь A, B, C, D, E, F - некоторые постоянные (коэффициенты), причем A, B, C одновременно не равны нулю.

Инструкция

1. Сразу следует оговориться, что приведение к каноническому виду в самом общем случае сопряжено с поворотом системы координат, что потребует привлечения достаточно большого количества дополнительных сведений. Поворот системы координат может потребоваться, если коэффициент В отличен от нуля.
2. Существуют три типа кривых второго порядка: эллипс, гипербола и парабола.
   Каноническое уравнение эллипса: (x^2)/(a^2)+ (y^2)/(b^2)=1.
   Каноническое уравнение гиперболы: (x^2)/(a^2)- (y^2)/(b^2)=1. Здесь а и b полуоси эллипса и гиперболы.
   Каноническое уравнение параболы 2px=y^2 (p - просто ее параметр).
   Процедура приведения к каноническому виду (при коэффициенте В=0) предельно проста. Проводятся тождественные преобразования с целью выделения полных квадратов, если требуется - деление обеих частей уравнения на число. Таким образом, решение сводится к приведению уравнения к каноническому виду и выяснению типа кривой.
3. Пример 1. 9x^2+25y^2=225.
   Преобразуйте выражение к виду: (9x^2)/225)+(25y^2)/225)=1,
   (9x^2)/(9*25)+(25y^2)/(9*25)=1, (x^2)/25+(y^2)/9=1, (x^2)/(5^2)+ (y^2)/(3^2)=1. Это эллипс с полуосями
   a=5, b=3.
   Пример 2. 16x^2-9y^2-64x-54y-161=0
   Дополнив уравнение до полного квадрата по х и по у и преобразовав его к каноническому виду, получите:
   (4^2)(x^2)-2*8*4x+8^2-(3^2)(y^2)-2*3*9y-(9^2)-161-64+81=0,
   (4x-8)^2- (3y+9)^2-144=0, (4^2)(x-2)^2-(3^2)(y+3)^2=(4^2)(3^2).
   (x-2)^2/(3^2)-(y+3)^2/(4^2) =1.
   Это уравнение гиперболы с центром в точке C(2,-3) и полуосями а=3, b=4.