Как вычислить предел последовательности

Если переменная, последовательность или функция имеет бесконечное количество значений, которые изменяются по некоторому закону, она может стремиться к определенному числу, которое и является пределом последовательности. Вычислять пределы можно различными способами.

Вам понадобится

• - понятие числовой последовательности и функции;
• - умение брать производные;
• - умение преобразовывать и сокращать выражения;
• - калькулятор.

Инструкция

1. Чтобы вычислить предел, подставьте в его выражение предельное значение аргумента. Попробуйте произвести вычисление. Если это возможно, то значение выражения с подставленным значением и есть искомое число. Пример: Найдите значения предела последовательности с общим членом (3•x?-2)/(2•x?+7), если x > 3. Произведите подстановку предела в выражение последовательности (3•3?-2)/(2•3?+7)=(27-2)/(18+7)=1.
2. Если при попытке подстановки есть неопределенность, выберите способ, которым ее можно устранить. Это можно сделать, преобразовав выражения, в которых записывается последовательность. Произведя сокращения, получите результат. Пример: Последовательность (x+vx)/(x-vx), когда x > 0. При прямой подстановке получается неопределенность 0/0. Избавьтесь от нее, вынеся из числителя и знаменателя общий множитель. В данном случае это будет vx. Получите (vx•(vx+1))/(vx•(vx-1))= (vx+1)/(vx-1). Теперь поле подстановки получите 1/(-1)=-1.
3. Когда при неопределенности дробь невозможно сократить (особенно, если последовательность содержит иррациональные выражения) умножьте ее числитель и знаменатель на спряженное выражение, для того, чтобы убрать иррациональность из знаменателя. Пример: Последовательность x/(v(x+1)-1). Значение переменной x > 0. Умножьте числитель и знаменатель на спряженное выражение (v(x+1)+1). Получите (x• (v(x+1)+1))/( (v(x+1)-1)•(v(x+1)+1))=(x• (v(x+1)+1))/(x+1-1)= (x• (v(x+1)+1))/x=v(x+1)+1. Произведя подстановку, получите =v(0+1)+1=1+1=2.
4. При неопределенностях типа 0/0 или ?/? используйте правило Лопиталя. Для этого числитель и знаменатель последовательности представьте как функции, возьмите из них производные. Предел их отношений будет равен пределу отношений самих функций. Пример: Найти предел последовательности ln(x)/vx, при x > ?. Прямая подстановка дает неопределенность ?/?. Возьмите производные из числителя и знаменателя и получите (1/x)/(1/2•vx)=2/vx=0.
5. Для раскрытия неопределенностей пользуйтесь первым замечательным пределом sin(x)/x=1 при x>0, или вторым замечательным пределом (1+1/x)^x=exp при x>?. Пример: Найти предел последовательности sin(5•x)/(3•x) при x>0. Преобразуйте выражение sin(5•x)/(3/5•5•x) вынесите множитель из знаменателя 5/3•( sin(5•x)/(5•x)) используя первый замечательный предел получите 5/3•1=5/3.
6. Пример: Найти предел (1+1/(5•x))^(6•x) при x>?. Умножьте и поделите показатель степени на 5•x. Получите выражение ((1+1/(5•x))^(5•x)) ^(6•x)/(5•x). Применив правило второго замечательного предела, получите exp^(6•x)/(5•x)=exp.