Появление радианов
С развитием математики, да и науки вообще, оказалось, что во многих случаях величину угла удобнее выражать в долях «отнимаемой» углом окружности – радианах. А их, в свою очередь, «привязать» к числу пи = 3,1415926…, выражающему отношение длины окружности к ее диаметру.
Число пи – иррациональное, то есть бесконечная непериодическая десятичная дробь. Выразить его в виде отношения целых чисел невозможно, на сегодняшний день насчитаны уже миллиарды и триллионы знаков после запятой безо всяких признаков повторения последовательности. В чем же тогда удобство?
В выражении тригонометрических функций (синуса, например) малых углов. Если взять маленький угол в радианах, то его значение будет с большой степенью точности равно его синусу. При научных и, особенно, технических расчетах, стало возможным заменить сложные в работе тригонометрические уравнения простыми действиями арифметики.
Плоские углы в радианах
В науке и технике также чаше всего вместо диаметра окружности удобнее использовать ее радиус, поэтому ученые договорились считать, что полная окружность на 360 градусов есть угол в два пи радиан (6,2831852… радиан). Таким образом, в одном радиане содержится примерно 57,3 угловых градуса, или 57 градусов 18 минут дуги окружности.
Для простых расчетов полезно помнить, что 5 градусам соответствует 1/36 часть пи, а 10 градусам – 1/18 пи. Тогда значения самых употребительных углов, выраженные в радианах через пи, легко вычисляются в уме: значение пятерок или десятков угла в градусах подставляем в числитель 1/36 или 1/18 соответственно, делим, и полученную дробь умножаем на пи.
Например, нам нужно знать, сколько радиан будет в 15 угловых градусах. В числе 15 три пятерки, значит, получится дробь 3/36 = 1/12. То есть, угол в 15 градусов будет равен 1/12 радиана.
Полученные значения для наиболее часто применяемых углов можно свести в таблицу. Но нагляднее и удобнее бывает пользоваться круговой угловой диаграммой вроде показанной на левой части рисунка.
Сферические углы
Углы бывают не только плоские. Шаровой (или сферический) сектор сферы радиуса R однозначно описывается углом при его вершине фи. Такие углы называют телесными и выражают в стерадианах. Телесным углом в 1 стерадиан является угол при вершине круглого шарового сектора с диаметром основания (донышка), равного диаметру окружности R, как показано на рисунке справа.
Однако следует помнить, что «стеградусов» в научно-техническом лексиконе нет. Если нужно выразить телесный угол в градусах, то так и пишут: «телесный угол во столько-то градусов», «объект наблюдался под телесным углом во столько-то градусов». Иногда, но редко, вместо выражения «телесный угол» пишут «сферический» или «шаровой угол».
В любом случае, если в тексте или речи упоминаются телесные, шаровые, сферические углы и, кроме них – плоские, их во избежание путаницы необходимо четко отделять друг от друга. Поэтому в таких случаях принято просто «угол» не употреблять, а конкретизировать: если речь идет о плоском угле, его называют углом дуги. Если необходимо привести технические значения углов, их также необходимо конкретизировать.
Например: «Угловое расстояние на небесной сфере между звездами А и Б составляет 13 градусов 47 минут дуги»; «Объект, наблюдавшийся под курсовым углом в 123 градуса, был виден под телесным углом примерно в 2 градуса».