Как найти условные экстремумы функции

Нахождение условного экстремума функции относится к случаю функции двух или более переменных. Тогда условность, о которой идет речь, сводится к заданию некоторых фиксированных параметров функции.

Упрощение параметрической функции

Условный экстремум функции, как правило, относится к случаю функции двух переменных. Такая функция определяется зависимостью между некоторой переменной z и двумя независимыми переменными x и y типа z=f(x,y). Таким образом, данная функция представляет собой некоторую поверхность, если представить ее графически.

Параметрической зависимостью, задаваемой при определении условного экстремума, является некоторая кривая, определяемая соотношением, связывающим две независимые переменные. Параметрическое выражение g(x,y)=0 в некоторых случаях можно переписать в другом виде, выразив переменную y через x. Тогда можно получить уравнение y=y(x). Подставив данное уравнение в зависимость z= f(x,y), можно получить уравнение z=f(x,y(x)), которое становится в данном случае уже зависимостью только от переменной «икс».

Дальше можно находить экстремум так, как это делается в ситуации с одной переменной. Данная процедура сводится, в первую очередь, к определению производной данной функции z=f(x,y(x)). После этого необходимо приравнять производную от функции к нулю и выразить переменную x, определив тем самым точку экстремума. Подставив данное значение переменной в выражение самой функции, можно найти максимальное или минимальное значение при заданном условии.

Общий случай нахождения экстремума

Если параметрическое уравнение g(x,y)=0 нельзя никак разрешить относительно одной из переменных, то условный экстремум находят, используя функцию Лагранжа. Данная функция представляет собой сумму двух других функций, одна из которых является изначальной исследуемой функцией, а другая – произведением некоторой постоянной l и параметрической функции, то есть L= f(x,y)+lg(x,y). В данном случае необходимым условием возможности существования экстремума у функции z= f(x,y) при условии соблюдения тождества g(x,y)=0 является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: dL/dx=0, dL/dy=0, dL/dl=0.

Каждое из уравнений после проведения операции дифференцирования даст некоторую зависимость трех переменных x, y и l. Имея три уравнения с тремя переменными, можно найти каждую из них в точке экстремума. После чего необходимо подставить значение «иксовой» и «игрековой» переменной в уравнение функции, условный экстремум которой определяется, и найти максимум или минимум данной функции z= f(x,y) при заданном условии g(x,y)=0. Данный метод определения условного экстремума называется методом Лагранжа.