Как найти площадь круга

Задачи на вычисление площади той или иной геометрической фигуры приходится решать школьнику и студенту, землемеру и архитектору, закройщику и токарю. Площадь круга можно вычислить разными способами, в зависимости от того, какими данными вы располагаете.

Основная формула

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Основным показателем и для окружности, и для круга является радиус. Если он задан, площадь круга можно вычислить по основной формуле S=πR2, где S – площадь круга, R – радиус окружности, ограничивающей круг, а π – константа, равная 3,14. В условиях задачи может быть дана длина окружности. Она равна L=2πR. В этом случае сначала необходимо вычислить радиус, разделив заданную величину L на 2π, то есть воспользоваться формулой R=L/2π.

По сторонам вписанного четырехугольника

В окружность, ограничивающую круг, может быть вписан четырехугольник, сумма противолежащих углов которого составляет 180°, то есть это квадрат или прямоугольник. В этом случае диаметр описанной вокруг четырехугольника окружности является одновременно диагональю. Если в условиях заданы размеры сторон четырехугольника, найти эту диагональ не составит особого труда, воспользовавшись теоремой Пифагора. Диагональ делит квадрат или прямоугольник на два прямоугольных треугольника, то есть является гипотенузой каждого из этих треугольников. Соответственно, найти ее можно, сложив квадраты сторон четырехугольника, то есть по формуле d2=a2+b2. Чтобы найти площадь круга, даже не нужно из полученного результата извлекать квадратный корень, поскольку R=d/2. Чтобы найти квадрат радиуса, достаточно квадрат диаметра разделить на 4.

По параметрам вписанного в окружность треугольника

Способ решения этого варианта задачи зависит от того, какой треугольник вписан и какие его параметры заданы. Если треугольник прямоугольны, алгоритм решения будет таким же, как для квадрата или прямоугольника, поскольку сторона, противолежащая прямому углу, всегда является диаметром описанной окружности. Если даны размеры катетов, возведите каждый из них в квадрат и найдите сумму, а затем полученный результат разделите на 4 и умножьте на число π. Если треугольник равносторонний, придется выполнить несколько дополнительных построений, чтобы в итоге получились прямоугольные треугольники, параметры которых вам известны. Например, в окружность с центром О вписан равносторонний треугольник АВС, сторона которого вам задана. Проведите высоты AN, ВM и СQ. Рассмотрите, например, прямоугольный треугольник AQO. Вам известна его гипотенуза AQ, которая равна половине стороны исходного треугольника, а также все углы, так что найти длину отрезка AQ, который одновременно является радиусом круга, площадь которого вам надо найти, можно по теореме синусов или косинусов.