Инструкция
1
Задача 1.
В произвольном треугольнике ABD проведена медиана BE. Найдите ее длину, если известно, что стороны, соответственно, равны AB = 10 см, BD = 5 см и AD = 8 см.
В произвольном треугольнике ABD проведена медиана BE. Найдите ее длину, если известно, что стороны, соответственно, равны AB = 10 см, BD = 5 см и AD = 8 см.
2
Решение.
Примените формулу медианы с выражением через все стороны треугольника. Это простая задача, поскольку все длины сторон известны:
BE = √((2*AB^2 + 2*BD^2 - AD^2)/4) = √((200 + 50 - 64)/4) = √(46,5) ≈ 6,8 (см).
Примените формулу медианы с выражением через все стороны треугольника. Это простая задача, поскольку все длины сторон известны:
BE = √((2*AB^2 + 2*BD^2 - AD^2)/4) = √((200 + 50 - 64)/4) = √(46,5) ≈ 6,8 (см).
3
Задача 2.
В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и BD равны. Проведена медиана из вершины D на сторону BA, при этом она составляет угол с BA, равный 90°. Найдите длину медианы DH, если известно, что BA = 10 см, а угол DBA равен 60°.
В равнобедренном треугольнике ABD стороны AD и BD равны. Проведена медиана из вершины D на сторону BA, при этом она составляет угол с BA, равный 90°. Найдите длину медианы DH, если известно, что BA = 10 см, а угол DBA равен 60°.
4
Решение.
Для нахождения медианы определите одну и равных сторон треугольника AD или BD. Для этого рассмотрите один из прямоугольных треугольников, предположим, BDH. Из определения медианы следует, что BH = BA/2 = 10/2 = 5.
Найдите сторону BD по тригонометрической формуле из свойства прямоугольного треугольника - BD = BH/sin(DBH) = 5/sin60° = 5/(√3/2) ≈ 5,8.
Для нахождения медианы определите одну и равных сторон треугольника AD или BD. Для этого рассмотрите один из прямоугольных треугольников, предположим, BDH. Из определения медианы следует, что BH = BA/2 = 10/2 = 5.
Найдите сторону BD по тригонометрической формуле из свойства прямоугольного треугольника - BD = BH/sin(DBH) = 5/sin60° = 5/(√3/2) ≈ 5,8.
5
Теперь возможны два варианта нахождения медианы: по формуле, использованной в первой задаче или по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника BDH: DH^2 = BD^2 - BH^2.
DH^2 = (5,8)^2 - 25 ≈ 8,6 (см).
DH^2 = (5,8)^2 - 25 ≈ 8,6 (см).
6
Задача 3.
В произвольном треугольнике BDA проведены три медианы. Найдите их длины, если известно, что высота DK равна 4 см и делит основание на отрезки длиной BK = 3 и KA = 6.
В произвольном треугольнике BDA проведены три медианы. Найдите их длины, если известно, что высота DK равна 4 см и делит основание на отрезки длиной BK = 3 и KA = 6.
7
Решение.
Для нахождения медиан необходимы длины всех сторон. Длину BA можно найти из условия: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Рассмотрите прямоугольный треугольник BDK. По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы BD:
BD^2 = BK^2 + DK^2; BD = √(9 + 16) = √25 = 5.
Для нахождения медиан необходимы длины всех сторон. Длину BA можно найти из условия: BA = BH + HA = 3 + 6 = 9.
Рассмотрите прямоугольный треугольник BDK. По теореме Пифагора найдите длину гипотенузы BD:
BD^2 = BK^2 + DK^2; BD = √(9 + 16) = √25 = 5.
8
Аналогично найдите гипотенузу прямоугольного треугольника KDA:
AD^2 = DK^2 + KA^2; AD = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,2.
AD^2 = DK^2 + KA^2; AD = √(16 + 36) = √52 ≈ 7,2.
9
По формуле выражения через стороны найдите медианы:
BE^2 = (2*BD^2 + 2*BA^2 - AD^2)/4 = (50 + 162 - 51,8)/4 ≈ 40, отсюда BE ≈ 6,3 (см).
DH^2 = (2*BD^2 + 2*AD^2 - BA^2)/4 = (50 + 103,7 - 81)/4 ≈ 18,2, отсюда DH ≈ 4,3 (см).
AF^2 = (2*AD^2 + 2*BA^2 - BD^2)/4 = (103,7 + 162 - 25)/4 ≈ 60, отсюда AF ≈ 7,8 (см).
BE^2 = (2*BD^2 + 2*BA^2 - AD^2)/4 = (50 + 162 - 51,8)/4 ≈ 40, отсюда BE ≈ 6,3 (см).
DH^2 = (2*BD^2 + 2*AD^2 - BA^2)/4 = (50 + 103,7 - 81)/4 ≈ 18,2, отсюда DH ≈ 4,3 (см).
AF^2 = (2*AD^2 + 2*BA^2 - BD^2)/4 = (103,7 + 162 - 25)/4 ≈ 60, отсюда AF ≈ 7,8 (см).