Инструкция
1
Золотая пропорция определяется следующим образом: это такое разбиение отрезка на две части, что меньшая часть относится к большей так же, как большая часть — ко всему отрезку.
2
Если длину всего отрезка принять за 1, а длину большей части — за x, то искомая пропорция выразится уравнением:

(1 - x)/x = x/1.

Умножая обе части пропорции на x и перенося слагаемые, получаем квадратное уравнение:

x^2 + x - 1 = 0.
3
Уравнение имеет два действительных корня, из которых нас, естественно, интересует только положительный. Он равен (√5 - 1)/2, что примерно равняется 0,618. Это число и выражает золотое сечение. В математике его чаще всего обозначают буквой φ.
4
Число φ обладает рядом замечательных математических свойств. Например, даже из исходного уравнения видно, что 1/φ = φ + 1. Действительно, 1/(0,618) = 1,618.
5
Другой способ вычислить золотую пропорцию состоит в использовании бесконечной дроби. Начиная с любого произвольного x, можно последовательно построить дробь:

x
1/(x + 1)
1/(1/(x+1) + 1)
1/(1/(1/(x+1) + 1) +1)

и так далее.
6
Для облегчения вычислений эту дробь можно представить в виде итеративной процедуры, в которой для вычисления следующего шага нужно прибавить единицу к результату предыдущего шага и разделить единицу на получившееся число. Иными словами:

x0 = x
x(n + 1) = 1/(xn + 1).

Этот процесс сходится, и его предел равен φ + 1.
7
Если заменить вычисление обратной величины извлечением квадратного корня, то есть провести итеративный цикл:

x0 = x
x(n + 1) = √(xn + 1),

то результат останется неизменным: независимо от изначально выбранного x итерации сходятся к значению φ + 1.
8
Геометрически золотое сечение можно построить при помощи правильного пятиугольника. Если провести в нем две пересекающиеся диагонали, то каждая из них разделит другую строго в золотом соотношении. Это наблюдение, согласно преданию, принадлежит Пифагору, который был так потрясен найденной закономерностью, что счел правильную пятиконечную звезду (пентаграмму) священным божественным символом.
9
Причины, по которым именно золотое сечение кажется человеку наиболее гармоничным, неизвестны. Однако эксперименты неоднократно подтверждали, что испытуемые, которым было поручено наиболее красиво разделить отрезок на две неравные части, делают это в пропорциях, весьма близких к золотому соотношению.