Как доказать, что диагонали равнобедренной трапеции равны

Равнобедренная трапеция — это плоский четырехугольник. Две стороны фигуры параллельны друг другу и называются основаниями трапеции, остальные два участка периметра — боковые стороны, и в случае равнобедренной трапеции они равны.

Вам понадобится

• - карандаш
• - линейка

Инструкция

1. Начертите эскиз равнобедренной трапеции. Опустите из вершин на верхнем основании перпендикуляры на нижнее основание. Исходная фигура теперь сложена из прямоугольника и двух прямоугольных треугольников. Рассмотрите эти треугольники. Они равны, поскольку имеют равные катеты (перпендикуляры между параллельными основаниями трапеции) и гипотенузы (боковые стороны равнобедренной трапеции).
2. Из равенства рассмотренных треугольников следует, что равны все их элементы. Но треугольники ведь являются частью трапеции. Значит, углы при большом основании равнобедренной трапеции равны. Это утверждение пригодится для построения последующего доказательства.
3. Снова начертите равнобедренную трапецию. Проведите в трапеции диагональ и рассмотрите треугольник, образованный боковой стороной трапеции, ее большим основанием и проведенной диагональю. Проведите вторую диагональ и рассмотрите еще один треугольник, образованный большим основанием, второй боковой стороной и второй диагональю трапеции. Сравните рассмотренные треугольники.
4. У рассмотренных фигур большое основание трапеции является общей стороной. Значит, в треугольниках по две равных стороны. На основании доказанного в пункте 2 утверждения равны углы между соответственно равными сторонами треугольников. По первому признаку равенства треугольников, рассмотренные фигуры равны. Следовательно равны и их третьи стороны, являющиеся диагоналями равнобедренной трапеции. При дальнейшем решении геометрических задач равенство диагоналей равнобедренной трапеции можно применять как уже доказанное свойство этой фигуры.