Как найти фокус на параболе

В алгебре парабола — прежде всего график квадратного трехчлена. Однако существует и геометрическое определение параболы, как совокупности всех точек, расстояние которых от некоторой данной точки (фокуса параболы) равно расстоянию до данной прямой (директрисы параболы). Если парабола задана уравнением, то нужно уметь вычислить координаты ее фокуса.

Инструкция

1. Идя от обратного, предположим, что парабола задана геометрически, то есть известны ее фокус и директриса. Для простоты расчетов установим систему координат так, чтобы директриса была параллельна оси ординат, фокус лежал на оси абсцисс, а сама ось ординат проходила точно посередине между фокусом и директрисой. Тогда вершина параболы будет совпадать с началом координат.Иными словами, если расстояние между фокусом и директрисой обозначить p, то координаты фокуса будут равны (p/2, 0), а уравнение директрисы — x = -p/2.
2. Расстояние от любой точки (x, y) до точки фокуса будет равно, по формуле расстояния между точками, √(x - p/2)^2 + y^2). Расстояние от этой же точки до директрисы, соответственно, будет равняться x + p/2.
3. Приравнивая друг другу эти два расстояния, вы получите уравнение: √(x - p/2)^2 + y^2) = x + p/2.Возводя обе части уравнения в квадрат и раскрывая скобки, вы получите: x^2 - px + (p^2)/4 + y^2 = x^2 + px + (p^2)/4.Упростив выражение, вы придете к окончательной формулировке уравнения параболы: y^2 = 2px.
4. Из этого видно, что если уравнение параболы можно привести к виду y^2 = kx, то координаты ее фокуса будут равны (k/4, 0). Поменяв переменные местами, вы придете к алгебраическому уравнению параболы y = (1/k)*x^2. Координаты фокуса этой параболы равны (0, k/4).
5. Парабола, служащая графиком квадратного трехчлена, обычно задается уравнением y = Ax^2 + Bx + C, где A, B, и C — константы. Ось такой параболы параллельна оси ординат.Производная квадратичной функции, заданной трехчленом Ax^2 + Bx + C, равна 2Ax + B. Она обращается в ноль при x = -B/2A. Таким образом, координаты вершины параболы равны (-B/2A, - B^2/(4A) + C).
6. Такая парабола полностью эквивалентна параболе, заданной уравнением y = Ax^2, сдвинутой путем параллельного переноса на -B/2A по оси абсцисс и на -B^2/(4A) + C по оси ординат. Это легко проверить заменой координат. Следовательно, если вершина параболы, заданной квадратичной функцией, находится в точке (x, y), то фокус этой параболы находится в точке (x, y + 1/(4A).
7. Подставляя в эту формулу вычисленные на предыдущем шаге значения координат вершины параболы и упрощая выражения, вы окончательно получите:x = - B/2A,
   y = - (B^2 - 1)/4A + C.