Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Согласно определению, геометрическая прогрессия - это последовательность неравных нулю чисел, каждое последующее из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число (знаменатель прогрессии). При этом в геометрической прогрессии не должно быть ни одного нуля, иначе вся последовательность «обнулятся», что противоречит определению. Чтобы найти знаменатель достаточно знать значения двух ее соседних членов. Однако, не всегда условия задачи бывают настолько простыми.

Вам понадобится

• калькулятор

Инструкция

1. Разделите любой член прогрессии на предыдущий. Если значение предыдущего члена прогрессии неизвестно или неопределено (например, для первого члена прогрессии), то разделите на любой член последовательности значение последующего члена прогрессии.
   Так как ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должно возникнуть проблем.
2. Пример.
   Пусть имеется последовательность чисел:
   
   10, 30, 90, 270...
   
   Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
   Решение:
   
   1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.
   
   2 вариант. Возьмем любой член геометрической прогрессии (например, 10) и разделим на него последующий (30): 30/10=3.
   
   Ответ: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270... равен 3.
3. Если значения членов геометрической прогрессии заданы не явно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.
   Пример.
   Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).
   
   Требуется найти знаменатель прогрессии.
   Решение:
   
   Запишите условие задачи в виде системы уравнений:
   b1+b4=400
   
   b2+b5=100
   Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:
   
   b2=b1*q
   
   b4=b1*q^3
   
   b5=b1*q^4, где q – общепринятое обозначение знаменателя геометрической прогрессии.
   Подставив в систему уравнений значения членов прогрессии, получите:
   b1+ b1*q^3=400
   
   b1*q+ b1*q^4=100
   После разложения на множители получается:
   b1*(1+q^3)=400
   
   b1*q(1+q^3)=100
   Теперь разделите соответствующие части второго уравнения на первое:
   [b1*q(1+q^3)] / [b1*(1+q^3)] = 100/400, откуда: q=1/4.
4. Если известна сумма нескольких членов геометрической прогрессии или сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии, то для нахождения знаменателя прогрессии воспользуйтесь соответствующими формулами:
   Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
   S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
   Пример.
   
   Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.
   
   Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
   Решение:
   
   Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
   2=1/(1-q), откуда – q=1/2.