Как вычислить длину вектора

Вектор — отрезок, у которого есть не только длина, но и направление. Векторы играют большую роль в математике, но особенно в физике, поскольку физика очень часто имеет дело с величинами, которые удобно представлять в виде векторов. Поэтому в математических и физических расчетах может возникнуть необходимость вычислить длину вектора, заданного координатами.

Инструкция

1. В любой системе координат вектор определяют через две точки — начало и конец. Например, в декартовых координатах на плоскости вектор обозначается как (x1, y1; x2, y2). В пространстве, соответственно, у каждой точки будет по три координаты, и вектор предстанет в виде (x1, y1, z1; x2, y2, z2). Разумеется, вектор можно определить и для четырехмерного, и для любого другого пространства. Его будет намного труднее представить, но с точки зрения математики все вычисления, связанные с ним, останутся прежними.
2. Длину вектора еще называют его модулем. Если A — вектор, то |A| — число, равное его модулю. Например, любое вещественное число можно представить как одномерный вектор с началом в точке нуля. Скажем, число -2 будет вектором (0; -2). Модуль такого вектора будет равен квадратному корню из квадрата координаты его конца, то есть √((-2)^2) = 2.
   
   В общем виде, если A = (0, x), то |A| = √(x^2). Из этого, в частности, следует, что модуль вектора не зависит от его направления — числа 2 и -2 равны по модулю.
3. Перейдем к декартовым координатам на плоскости. И в этом случае проще всего вычислить длину вектора, если его начало совпадает с началом координат. Квадратный корень нужно будет извлечь из суммы квадратов координат окончания вектора. |0, 0; x, y| = √(x^2 + y^2).Например, если у нас есть вектор A = (0, 0; 3, 4), то его модуль |A| = √(3^2 + 4^2) = 5.
   
   Фактически, вы вычисляете модуль по формуле Пифагора о гипотенузе прямоугольного треугольника. Координатные отрезки, задающие вектор, играют роль катетов, а вектор служит гипотенузой, квадрат которой, как известно, равен сумме их квадратов.
4. Когда начало вектора не находится в точке отсчета координат, вычисление модуля становится чуть более трудоемким. В квадрат придется возводить не координаты конца вектора, а разности между координатой конца и соответствующей координатой начала. Легко заметить, что, если координата начала равна нулю, то формула превращается в предыдущую. Вы точно так же пользуетесь здесь теоремой Пифагора — разности координат становятся длинами катетов.
   
   Если A = (x1, y1; x2, y2), то |A| = √((x2 - x1)^2 + (y2-y1)^2). Предположим, что нам задан вектор A = (1, 2; 4, 6). Тогда его модуль равен |A| = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2) = 5. Если вы построите на координатной плоскости этот вектор и сравните его с предыдущим, то легко увидите, что они равны между собой, что и становится очевидным при вычислении их длины.
5. Эта формула универсальна, и ее легко обобщить на случай, когда вектор расположен не на плоскости, а в пространстве, или даже имеет больше трех координат. Его длина по-прежнему будет равна квадратному корню из суммы квадратов разностей координат конца и начала.