Как найти высоту треугольника по 3 сторонам

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из угла к противолежащей стороне. Высота необязательно лежит внутри этой геометрической фигуры. В некоторых видах треугольников перпендикуляр попадает на продолжение противолежащей стороны и оказывается за пределами площади, ограниченной линиями. В любом случае образуются новые прямоугольные треугольники, часть параметров которых вам известна. По ним можно вычислить высоту.

Вам понадобится

• - треугольник с заданными сторонами;
• - карандаш;
• - угольник;
• - свойства высоты треугольника;
• - теорема Герона;
• - формулы площади треугольника.

Инструкция

1. Постройте треугольник с заданными сторонами. Обозначьте его как АВС. Известные стороны обозначьте цифрами или буквами а, b и с. Сторона а лежит напротив угла А, стороны b и с — соответственно, напротив углов В и С. Проведите высоты ко всем сторонам треугольника и обозначьте их как h1, h2 и h3.
2. Высоту треугольника по трем сторонам можно найти через разные формулы его площади. Вспомните, чему равна площадь треугольника. Она вычисляется перемножением основания на высоту и делением полученного результата на 2. В то же время, площадь можно найти по формуле Герона. В этом случае она равна квадратному корню из произведения полупериметра и разностей его со всеми сторонами. То есть а*h/2=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c), где h – высота, p – полупериметр, а, b, c – стороны треугольника.
3. Найдите полупериметр. Он вычисляется сложением размеров всех сторон. Его можно выразить формулой p=(a+b+c)/2. Вместо букв подставьте соответствующие числовые значения. Посчитайте разность полупериметра с каждой из его сторон.
4. Найдите высоту h1, опущенную на сторону a. Она может быть выражена дробью, в знаменателе которой стоит величина а. Числитель этой дроби представляет собой квадратный корень из произведения полупериметра и его разностей со всеми сторонами данного треугольника. h1=(√p*(p-a)*(p-b)*(p-c))/a,
5. Можно полупериметр специально не вычислять, а выразить площадь по другому варианту этой же формулы. Она равна четверти квадратного корня из произведения суммы всех сторон на суммы каждых двух из них с вычтенным из этой суммы размером третьей стороны. То есть S=1/4*√(a+b+c)*(a+b-c)*(a+c-b)*(b+c-a). Дальше высота вычисляется точно так же, как и в первом случае.
6. Остальные две высоты можно вычислить по этой же формуле. Но можно воспользоваться и тем, что отношение высот между собой связано с отношением соответствующих сторон и может быть выражено формулой h1:h2=1/a:1/b. Вам уже известна h1, а стороны a и b заданы в условиях. Поэтому решите пропорцию, перемножив h1 и 1/а и разделив все это на 1/b. Точно таким же образом через любую из уже известных высот можно найти и третью сторону.