Инструкция
1
Представьте, что некоторая точка A за определенный промежуток времени t прошла путь s. Уравнение движения точки A можно записать в следующем виде:
s=f(t), где f(t) - функция пройденного пути
Поскольку скорость находится путем деления пути на время, она является производной пути, и, соответственно, указанной выше функции:
v=s't=f(t)
При изменении скорости и времени скорость вычисляется следующим образом:
v=Δs/Δt=ds/dt=s't
Все полученные значения скорости является производные пути. За некоторый промежуток времени, соответственно, может измениться и скорость. Кроме того, методом дифференциального исчисления находят и ускорение, которое является первой производной скорости и второй производной пути. Когда говорится о второй производной функции, речь идет о дифференциалах второго порядка.
s=f(t), где f(t) - функция пройденного пути
Поскольку скорость находится путем деления пути на время, она является производной пути, и, соответственно, указанной выше функции:
v=s't=f(t)
При изменении скорости и времени скорость вычисляется следующим образом:
v=Δs/Δt=ds/dt=s't
Все полученные значения скорости является производные пути. За некоторый промежуток времени, соответственно, может измениться и скорость. Кроме того, методом дифференциального исчисления находят и ускорение, которое является первой производной скорости и второй производной пути. Когда говорится о второй производной функции, речь идет о дифференциалах второго порядка.
2
Дифференциал функции с математической точки зрения является производной, которая записывается в следующем виде:
dy=df(x)=y'dx=f'(x)Δx
Когда дана обыкновенная функция, выраженная в числовых значениях, дифференциал вычисляется по следующей формуле:
f'(x)=(x^n)'=n*x^n-1
Например, в задаче дана функция : f(x)=x^4. Тогда дифференциал этой функции равен: dy =f'(x) =(x^4)'=4x^3
Дифференциалы простых тригонометрических функций приведены во всех справочниках по высшей математике. Производная функции y=sin x равна выражению (y)'=(sinx)'=cosx. Также в справочниках даны дифференциалы ряда логарифмических функций.
dy=df(x)=y'dx=f'(x)Δx
Когда дана обыкновенная функция, выраженная в числовых значениях, дифференциал вычисляется по следующей формуле:
f'(x)=(x^n)'=n*x^n-1
Например, в задаче дана функция : f(x)=x^4. Тогда дифференциал этой функции равен: dy =f'(x) =(x^4)'=4x^3
Дифференциалы простых тригонометрических функций приведены во всех справочниках по высшей математике. Производная функции y=sin x равна выражению (y)'=(sinx)'=cosx. Также в справочниках даны дифференциалы ряда логарифмических функций.
3
Дифференциалы сложных функций вычисляются путем использования таблицы дифференциалов и знания некоторых их свойств. Ниже приведены основные свойства дифференциала.
Свойство 1. Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.
d(a+b)=da+db
Данное свойство применимо независимо от того, какая функция дана - тригонометрическая или обычная.
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала.
d(2a)=2d(a)
Свойство 3. Произведение сложной дифференциальной функции равно произведению одной простой функции на дифференциал второй, сложенному с произведением второй функции на дифференциал первой. Выглядит это следующим образом:
d(uv)=du*v+dv*u
Таким примером может служить функция y=x sinx, дифференциал которой равен:
y'=(xsinx)'=(x)'*sinx+(sinx)'*x=sinx+cosx^2
Свойство 1. Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.
d(a+b)=da+db
Данное свойство применимо независимо от того, какая функция дана - тригонометрическая или обычная.
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак дифференциала.
d(2a)=2d(a)
Свойство 3. Произведение сложной дифференциальной функции равно произведению одной простой функции на дифференциал второй, сложенному с произведением второй функции на дифференциал первой. Выглядит это следующим образом:
d(uv)=du*v+dv*u
Таким примером может служить функция y=x sinx, дифференциал которой равен:
y'=(xsinx)'=(x)'*sinx+(sinx)'*x=sinx+cosx^2