Как решать геометрическую прогрессию

Геометрическая прогрессия - это такая последовательность чисел b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), что b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)=b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Иными словами, каждый член прогрессии получается из предыдущего умножением его на некоторый ненулевой знаменатель прогрессии q.

Инструкция

1. Задачи на прогрессии чаще всего решаются составлением и последующим решением системы уравнений относительно первого члена прогрессии b1 и знаменателя прогрессии q. Для составления уравнений полезно помнить некоторые формулы.
2. Как выразить n-й член прогрессии через первый член прогрессии и знаменатель прогрессии:b(n)=b1*q^(n-1).
3. Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, зная первый член b1 и знаменатель q:S(n)=b1+b2+...+b(n)=b1*(1-q^n)/(1-q).
4. Рассмотрим отдельно случай |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном увеличении n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна:S=b1/(1-q).
5. Еще одно важное свойство геометрической прогрессии, которое и дало геометрической прогрессии такое название: каждый член прогрессии является средним геометрическим соседних с ним членов (предыдущего и последующего). Это значит, что b(k) есть корень квадратный из произведения:b(k-1)*b(k+1).