Вам понадобится
- Умение решать системы и совокупности неравенств
Инструкция
1
Если основание логарифма а>0, то неравенство logaF(x)>logaG(x) равносильно системе неравенств F(x)>G(x), F(x)>0, G(x)>0. Рассмотрим пример: lg(2x^2+4x+10)>lg(x^2-4x+3). Перейдем в равносильной системе неравенств: 2x^2+4x+10>x^2-4x+3, 2x^2+4x+10>0, x^2-4x+3>0. Решив эту систему, получаем решение данного неравенства: х принадлежит промежуткам (-бесконечности,-7), (-1,1), (3,+бесконечности).
2
Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то неравенство logaF(x)>logaG(x) равносильно системе неравенств F(x)0, G(x)>0. Например, log(x+25) по основанию 0.5>log(5x-10) по основанию 0,5. Перейдем в равносильной системе неравенств: x+25<8x-10, x+25>0, 8x-10>0. При решении данной системы неравенств, получаем x>5, что и будет являться решением первоначального неравенства.
3
Если неизвестное стоит и под знаком логарифма и в его основании, то уравнение logF(x) по основанию h(x)>logG(x) по основанию h(x) равносильно совокупности систем: 1 система - h(x)>1, F(x)>G(x), F(x)>0, G(x)>0; 2 - 00, G(x)>0. Например, log(5-x) по основанию (x+2)/(x-3)>log(4-x) по основанию (x+2). Совершим равносильный переход к совокупности систем неравенств: 1 система - (x+2)/(x-3)>1, x+2>4-x, x+2>0, 4-x>0; 2 система - 0<(x+2)/(x-3)<1, x+2<4-x, x+2>0, 4-x>0. Решая данную совокупность систем, получаем 3
4
Некоторые логарифмические уравнения возможно решить с помощью замены переменной. Например, (lgX)^2+lgX-2>=0. Обозначим lgX=t, тогда получаем уравнение t^2+t-2>=0, решая которое получаем t<=-2 или t>=1. Таким образом получаем совокупность неравенств lgX<=2, lgX>=1. Решаем их, x>=10^(-2)? 00.