Инструкция
1
Сразу скажем, что определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.
Определитель матрицы будем рассчитывать следующим образом. Это будет сумма коэффициентов, стоящих в первой строке, каждый из которых умножим на определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием столбца и строки, в которых стоит умножаемый коэффициент. Знаки у этих сомножителей будут чередоваться (у первого будет "+", у второго будет "-" и т.д.).
Отметим, что эта формула верна для элементов любых строк - необязательно брать первую, просто это удобнее из-за наглядности.
Определитель матрицы будем рассчитывать следующим образом. Это будет сумма коэффициентов, стоящих в первой строке, каждый из которых умножим на определитель матрицы, полученной из исходной вычеркиванием столбца и строки, в которых стоит умножаемый коэффициент. Знаки у этих сомножителей будут чередоваться (у первого будет "+", у второго будет "-" и т.д.).
Отметим, что эта формула верна для элементов любых строк - необязательно брать первую, просто это удобнее из-за наглядности.
2
Есть и второй способ. Существует определенный алгоритм вычисления.
Сначала введем понятие главной диагонали матрицы - это элементы, стоящие по диагонали, начиная с а11 и заканчивая а(nn) (то есть из левого верхнего угла в правый нижний).
Итак, вернемся к алгоритму.
Для матрицы из одного элемента определитель будет равен значению этого элемента.
Для матрицы 2х2 это будет разность произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагонали (по аналогии, побочная диагональ идет из правого верхнего угла в левый нижний).
Для матрицы 3х3 это будет поступают так: первые два столбика подписывают справа от третьего еще раз. Получается как бы матрица 3х5. Именно как бы, это просто прием. Далее суммируются произведения элементов по получившимся трем главным диагоналям и трем побочным. Эти суммы вычитаются. Полученное число и будет определителем матрицы.
На картинке изображен другой вариант вычисления этим же методом, просто тут обходимся без дописываний, а просто перемножаем элементы и вычитаем суммы произведений по указанной схеме.
Сначала введем понятие главной диагонали матрицы - это элементы, стоящие по диагонали, начиная с а11 и заканчивая а(nn) (то есть из левого верхнего угла в правый нижний).
Итак, вернемся к алгоритму.
Для матрицы из одного элемента определитель будет равен значению этого элемента.
Для матрицы 2х2 это будет разность произведений элементов, стоящих на главной и побочной диагонали (по аналогии, побочная диагональ идет из правого верхнего угла в левый нижний).
Для матрицы 3х3 это будет поступают так: первые два столбика подписывают справа от третьего еще раз. Получается как бы матрица 3х5. Именно как бы, это просто прием. Далее суммируются произведения элементов по получившимся трем главным диагоналям и трем побочным. Эти суммы вычитаются. Полученное число и будет определителем матрицы.
На картинке изображен другой вариант вычисления этим же методом, просто тут обходимся без дописываний, а просто перемножаем элементы и вычитаем суммы произведений по указанной схеме.
3
Для матрицы 4х4, 5х5 и т.д. такое правило то же будет выполняться, но тут возникают сложности в связи с большим количеством чисел и перемножений/сложений, которые надо выполнить, так что возрастает риск совершить ошибку. Поэтому в таких случаях выгоднее использовать первый способ.
Отметим, что определитель единичной матрицы равен единице, в чем нетрудно убедиться.
Отметим, что определитель единичной матрицы равен единице, в чем нетрудно убедиться.