Как решать производные

Производная - это одно из важнейших понятий не только в математике, но и во многих других областях знаний. Она характеризует скорость изменения функции в заданный момент времени. С точки зрения геометрии, производная в некоторой точке - это тангенс угла наклона касательной к этой точке. Процесс ее нахождения называется дифференцированием, а обратный - интегрированием. Зная несколько несложных правил, можно вычислять производные любых функций, что в свою очередь существенно облегчает жизнь и химикам, и физикам, и даже микробиологам.

Вам понадобится

• учебник по алгебре за 9 класс.

Инструкция

1. Первое, что необходимо для дифференцирования функций - это знать основную таблицу производных. Ее можно найти в любом математическом справочнике.
2. Для того чтобы решать задачи, связанные с нахождением производных, нужно изучить основные правила. Итак, допустим, у нас есть две дифференцируемы функции u и v, и некоторая постоянна величина с.
   Тогда:
   
   Производная от константы всегда равняется нулю: (с)' = 0;
   
   Константа всегда выносится за знак производной: (cu)' = cu';
   
   При нахождении производной от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)' = u'+v';
   
   При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую функцию и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)' = u'*v+v'*u;
   
   Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2;
   
   Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y'(x)=y'(u)*v'(x).
3. Используя полученные выше знания, можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:
   
   y=x^4, y'=4*x^(4-1)=4*x^3;
   
   y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y'=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
   Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
   1) Найдите производную функции: y'=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
   
   2) Вычислите значение функции в заданной точке y'(1)=8*e^0=8