Как найти множество значений

Когда мы имеем дело с функциями, нам приходится искать область определения функции и множество значений функции. В этом заключается важная составляющая общего алгоритма исследования функции перед построением графика.

Инструкция

1. Для начала найдите область определения функции. Область определения включает в себя все допустимые аргументы функции, то есть такие аргументы, при которых функция имеет смысл. Ясно, что в знаменателе дроби не может быть нуля, под корнем не может быть отрицательного числа. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице. Выражение под логарифмом также должно быть положительным. Ограничения на область определения функции могут быть наложены и условием задачи.
2. Проанализируйте, как область определения функции влияет на множество значений, которые может принимать функция.
3. Множество значений линейной функции представляет собой множество всех действительных чисел (x принадлежит R), т.к. прямая, задаваемая линейным уравнением, бесконечна.
4. В случае квадратичной функции найдите значение вершины параболы (x0=-b/a, y0=y(x0). Если ветви параболы направлены вверх (a>0), то множеством значений функции будут все y>y0. Если ветви параболы направлены вниз (a<0), множество значений функции определится неравенством y
5. Множество значений кубической функции - множество действительных чисел (x принадлежит R). Вообще, множество значений любой функции с нечетным показателем степени (5, 7, ...) - это область действительных чисел.
6. Множество значений показательной функции (y=a^x, где a - положительное число) - все числа больше нуля.
7. Для нахождения множества значений дробно-линейной или дробно-рациональной функции необходимо найти уравнения горизонтальных асимптот. Найдите такие значения x, при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Представьте себе, как будет выглядеть график. Постройте эскиз графика. На основании этого определите множество значений функции.
8. Множество значений тригонометрических функций синуса и косинуса строго ограничено. Синус и косинус по модулю не может превышать единицы. А вот значение тангенса и котангенса может быть любым.
9. Если в задаче требуется найти множество значений функции на заданном отрезке значений аргумента, рассмотрите функцию конкретно на этом отрезке.
10. При нахождении множества значений функции полезно бывает определить промежутки монотонности функции - возрастания и убывания. Это позволяет понять характер поведения функции.