Что такое матрицы

Матрица – это математический объект, представляющий собой прямоугольную таблицу. На пересечении столбцов и строк этой таблицы расположены элементы матрицы – целые, действительные или комплексные числа. Размер матрицы устанавливается по количеству ее строк и столбцов. Виды матриц и действия над ними изучаются в матричной алгебре.

Правила математических действий с матрицами позволяют широко применять их для записи систем уравнений. При этом в строках матрицы записываются сами уравнения, а в столбцах – неизвестные. Таким образом, решение системы уравнений своидится к выполнению операций с матрицей.

Матрицы можно складывать и вычитать при условии, что все слагаемые матрицы имеют один и тот же размер. Кроме того, их можно умножать несколькими способами. Первый способ – умножение матрицы с определенным количеством столбцов справа на матрицу с тем же количеством строк. Второй способ – умножение на матрицу вектора при условии, что этот вектор рассматривается как отдельный случай матрицы. Третий способ – умножение матрицы на скалярную величину.

Впервые матрицы стали применять математики Древнего Китая для решения линейных уравнений. Одновременно с ними матрицы начали использовать и арабские математики, которые разработали для них принципы и правила сложения. Однако сам термин «матрица» был введен только в 1850г. До этого их называли «волшебными квадратами».

Обозначаются матрицы заглавными буквами А:MxN, где А – имя матрицы, M– количество строк в матрице, а N– количество столбцов. Элементы – соответствующими строчными буквами с индексами, обозначающими их номер в строке и в столбце a (m, n).

Наиболее часто распространены матрицы прямоугольной формы, хотя в далеком прошлом математики рассматривали и треугольные. Если количество строк и столбцов матрицы одинаково, она называется квадратной. При этом M=N уже имеет наименование порядка матрицы. Матрица, имеющая всего одну строку, именуется строкой. Матрица с всего одним столбцом называется столбцом. Диагональная матрица – это квадратная матрица, в которой не равны нулю только элементы, расположенные по диагонали. Если все элементы равны единице, матрица называется единичной, если нулю – нулевой.

Если в матрице поменять местами строки и столбцы, она станет транспонированной. Если все элементы заменить комплексно-сопряженными, она станет комплексно-сопряженной. Кроме того, существуют и другие виды матриц, определяющиеся условиями, которые накладываются на матричные элементы. Но большинство таких условий применимо только к квадратным матрицам.