Вам понадобится
- бумага, ручка
Инструкция
1
Выбор базиса линейного пространства можно осуществить при помощи второй ссылки, приведенной после статьи. Искать универсальный ответ не стоит. Подберите систему векторов, а затем приведите доказательство ее пригодности в качестве базиса. Не пробуйте делать это алгоритмически, в данном случае надо идти другим путем.
2
Произвольное линейное пространство, по сравнению с пространством R³, не богато свойствами. Произведите сложение или умножение вектора на число R³. Можно пойти следующим путем. Измерьте длины векторов и углы между ними. Вычислите величину площади, объемы и расстояние между объектами пространства. Затем выполните следующие манипуляции. Наложите на произвольное пространство склярное произведение векторов x и у ((x,y)=x₁y₁+x₂y₂ +…+ xnyn). Теперь его можно назвать Евклидовым. Оно представляет огромную практическую ценность.
3
В произвольном по размерности базисе введите понятие ортогональности. Если склярное произведение векторов x и y равно нулю, значит они ортогональны. Такая система векторов является линейно независимой.
4
Ортогональные функции в общем случае являются бесконечномерными. Поработайте с Евклидовым функциональным пространством. Разложите по ортогональному базису e₁(t), e₂(t),e₃(t), … вектора (функции) х(t). Внимательно изучите результат. Найдите коэффициент λ (координат вектора х). Для этого коэффициент Фурье умножьте на вектор еĸ (см. рисунок). Полученную в результате вычислений формулу можно назвать функциональным рядом Фурье по системе ортогональных функций.
5
Изучите систему функций 1, sint, cost, sin2t, cos2t, …, sinnt, cosnt, …. Определите ортогональна ли она на на на [-π, π]. Выполните проверку. Для этого вычислите склярные произведения векторов. Если результат проверки доказывает ортогональность этой тригонометрической системы, то она является базисом в пространстве C[-π, π].