Инструкция
1
Система т линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид (см. рис. 1).
В ней аij – коэффициенты системы, хj – неизвестные, bi – свободные члены (i=1, 2, ... , т; j=1, 2, ... , п). Практический смысл такая система имеет в том случае, когда число ее уравнений не превышает число неизвестных, то есть при m≤n. Дело в том, что в противном случае «лишние» уравнения должны являться линейной комбинацией остальных. Это означает, что они их просто повторяют. Если нет, то и решение не существует (система не совместна).
2
Компактно такую систему можно записывать в матричной форме АХ=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, Х – матрица- столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов (см. рис 2). Если m=n, т.е. есть количество неизвестных и число уравнений одинаково, то матрица А квадратная. Потому для нее определено понятие определителя матрицы ∆=|A|. При |A|≠0 существует обратная матрица A⁻¹. Ее определение базируется на равенстве АA⁻¹= A⁻¹A=E (E – единичная матрица). Формула для вычисления обратной матрицы также присутствует на рисунке 2. Следует лишь добавить, что элементы Aij присоединенной матрицы Ã, называемые алгебраическими дополнениями элементов aij матрицы А вычисляются следующим образом. Возьмите определитель |A|и вычеркните из него строку и столбец, на котором находится элемент aij. Оставшиеся коэффициенты запишите в виде нового определителя, который умножьте на (-1), если i+j не четно. Соответствующее число равно Aij. Алгебраические дополнения записываются по столбцам присоединенной матрицы.
3
Найдите решение системы матричным способом. Для этого обе части системы AX=B умножьте на A⁻¹ слева. Получите (A⁻¹A)X=A⁻¹B, EX=A⁻¹B или X=A⁻¹B. Все подробности проиллюстрированы на рис. 3. На этом же рисунке приведена формула вычисления определителя коэффициентов Разложением по i-му столбцу А. Упомянутые подробности приводят к выводу о том, что при решении систем большой размерности матричным способом лучше не пользоваться. Можно просто «утонуть» в вычислениях громадного числа алгебраических дополнений (если не создавать соответствующие программы). Оправдан это метод, пожалуй, лишь для систем второго порядка, так как для определителя этого порядка А₁₁=а₂₂, А₁₂=-а₂₁, А₂₁=-а₁₂, А₂₂=а₁₁. Это легко запомнить. А вот далее… В прочем, это уже на любителя.
4
Настала пора самого, пожалуй, известного и предельно простого метода Крамера. Присмотритесь повнимательнее к выражению для определения неизвестной xi на предыдущем шаге. Что получится, если вместо элементов столбца B, поставить элементы i-го столбца матрицы коэффициентов А (для наглядности это было отображено на рисунке 3). Получится теорема разложения для вычисления определителя |A|=∆ по i-му столбцу матрицы А. Поэтому xi =∆i/∆. Определитель ∆ матрицы коэффициентов называют главным, а ∆i вспомогательным. Для каждой неизвестной вспомогательный определитель находят с помощью замены i-го столбца главного определителя на столбец свободных членов. Подробно метод Крамера для случая системы третьего порядка представлен на рисунке 4.
5
Наиболее общим способом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса. Здесь число уравнений может быть и меньшим числа неизвестных, m≤n. Метод уже был детально описан в тематике КакProsto.ru. Для того, чтобы обратиться к нему, используйте первый источник из дополнительных сведений.