Как определить расстояние от точки до плоскости, заданной следами

Одна из достаточно распространенных задач, встречающихся в начальных курсах высшей математики ВУЗ-ов, состоит в определении расстояния от произвольной точки до некоторой плоскости. Как правило, плоскость задается уравнением в том или ином виде. Но существуют и другие методы определения плоскостей. Например, следами.

Вам понадобится

• - данные следов плоскости;
• - координаты точки.

Инструкция

1. Если в начальные условия не содержат координаты точек, являющихся местами пересечения плоскости с осями системы координат (следы могут задаваться подобным образом), определите их. Если следы определены парами произвольных точек, принадлежащих плоскостям ХY, ХZ, YZ, составьте уравнения прямых (в данных плоскостях), содержащих соответствующие отрезки. Решив уравнения, найдите координаты пересечений следов с осями. Пусть это будут точки А(Х1, Y1, Z1), В(Х2, Y2, Z2), С(Х3, Y3, Z3).
2. Приступите к нахождению уравнения плоскости, заданной исходными следами. Составьте определитель вида:
   (Х-Х1) (Y-Y1) (Z-Z1)
   (Х2-Х1) (Y2-Y1) (Z2 - Z1)
   (Х3-Х1) (Y3-Y1) (Z3 - Z1)
   Здесь Х1, Х2, Х3, Y1, Y2, Y3, Z1, Z2, Z3 - значения координат точек А, В, С, найденные на предыдущем шаге, Х, Y и Z - переменные, фигурирующие в результирующем уравнении. Обратите внимание на то, что элементы двух нижних строк матрицы в итоге будут содержать константные значения.
3. Вычислите определитель. Приравняйте к нулю полученное выражение. Это и будет уравнение плоскости. Обратите внимание на то, что определитель вида
   (n11) (n12) (n13)
   (n21) (n22) (n23)
   (n31) (n32) (n33)
   можно вычислить как: n11*(n22*n33 - n23*n32) + n12*(n21*n33 - n23*n31) + n13*(n21*n32 - n22*n31). Поскольку величины n21, n22, n23, n31, n32, n33 - константы, а в первой строке содержатся переменные Х, Y, Z, результирующее уравнение будет иметь вид: АХ + ВY + СZ + D = 0.
4. Определите расстояние от точки до плоскости, заданной исходными следами. Пусть координатами этой точки будут значения Хm, Ym, Zm. Имея данные величины, а также коэффициенты А, В, С и свободный член уравнения D, полученного на предыдущем шаге, используйте формулу вида: P = |АХm + ВYm + СZm + D| / √(А²+В²+С²) для вычисления результирующего расстояния.