Инструкция
1
Чтобы найти косинус угла в треугольнике, длины сторон которого известны, можно воспользоваться теоремой косинусов. Согласно этой теореме, квадрат длины стороны произвольного треугольника равняется сумме квадратов двух его других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними:
а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:
а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),
? – угол, противоположный стороне а (его величина).
Из приведенного равенства легко находится соs?:
соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)
Пример 1.
Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.
Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.
Решение:
По условию задачи имеем:
а=3,
b=4,
с=5.
Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8
Ответ: 0,8.
а?=b?+c?-2*b*c*соs?, где:
а, b, с – стороны треугольника (точнее их длины),
? – угол, противоположный стороне а (его величина).
Из приведенного равенства легко находится соs?:
соs?=( b?+c?-а? )/(2*b*c)
Пример 1.
Имеется треугольник со сторонами а, b, с, равными 3, 4, 5 мм, соответственно.
Найти косинус угла, заключенного между большими сторонами.
Решение:
По условию задачи имеем:
а=3,
b=4,
с=5.
Обозначим противоположный стороне а угол через ?, тогда, согласно выведенной выше формуле, имеем:
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40=32/40=0,8
Ответ: 0,8.
2
Если треугольник прямоугольный, то для нахождения косинуса угла достаточно знать длины всего двух любых сторон (косинус прямого угла равен 0).
Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.
Рассмотрим все варианты:
Пример 2.
Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)
Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:
c?=b?+а?,
с=v(b?+а?)
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)
Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.
а=3,
b=4.
Проделав элементарные вычисления, получаем:
соs?=0,8.
Пусть имеется прямоугольный треугольник со сторонами а, b, с, где с – гипотенуза.
Рассмотрим все варианты:
Пример 2.
Найти соs?, если известны длины сторон а и b (катеты треугольника)
Воспользуемся дополнительно теоремой Пифагора:
c?=b?+а?,
с=v(b?+а?)
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?))=(2*b?)/(2*b*v(b?+а?))=b/v(b?+а?)
Чтобы проверить правильность полученной формулы, подставим в нее значения из примера 1, т.е.
а=3,
b=4.
Проделав элементарные вычисления, получаем:
соs?=0,8.
3
Аналогично находится косинус в прямоугольном треугольнике в остальных случаях:
Пример 3.
Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?
b?=с?-а?,
b=v(c?-а?)
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:
соs?=0,8.
Пример 3.
Известны а и с (гипотенуза и противолежащий катет), найти соs?
b?=с?-а?,
b=v(c?-а?)
соs?=(b?+c?-а? )/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?))=(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.
Подставляя значения а=3 и с=5 из первого примера, получаем:
соs?=0,8.
4
Пример 4.
Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).
Найти соs?
Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:
соs?=b/с.
Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.
Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:
соs?=0,8
Значит, все наши формулы верны.
Известны b и с (гипотенуза и прилежащий катет).
Найти соs?
Произведя аналогичные (показанные в примерах 2 и 3 преобразования), получим, что в этом случае косинус в треугольнике вычисляется по очень простой формуле:
соs?=b/с.
Простота выведенной формулы объясняется элементарно: фактически, прилежащий к углу ? катет является проекцией гипотенузы, поэтому его длина равна длине гипотенузы, умноженной на соs?.
Подставляя значения b=4 и с=5 из первого примера, получим:
соs?=0,8
Значит, все наши формулы верны.