Инструкция
1
Геометрия – это наука, которая находит применение во многих областях жизни. Немыслимо было бы спроектировать и построить древние, старинные и современные здания без ее методов. Одной из простейших геометрических фигур является прямая. Совокупность нескольких таких фигур образует пространственные поверхности в зависимости от их взаиморасположения.
2
В частности, прямые, находящиеся в разных параллельных плоскостях, могут скрещиваться. Расстояние, на котором они находятся друг от друга, можно представить в виде перпендикулярного отрезка, лежащего в соответствующей плоскости. Концами этого ограниченного участка прямой будут проекции двух точек скрещивающихся прямых на его плоскость.
3
Можно найти расстояние между прямыми в пространстве как расстояние между плоскостями. Таким образом, если они заданы уравнениями общего вида:
β: A•х + B•у + C•z + F = 0,
γ: A2•х + B2•у + C2•z + G = 0, то расстояние определяется по формуле:
d = |F - G|/√(|А•А2| + |В•В2| + |С•С2|).
4
Коэффициенты A, A2, B, B2, C и C2 являются координатами векторов нормали этих плоскостей. Поскольку скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, то эти величины должны соотноситься друг с другом в следующей пропорции:
A/A2 = B/B2 = C/C2, т.е. они либо попарно равны либо различаются на один и тот же множитель.
5
Пример: пусть даны две плоскости 2•х + 4•у – 3•z + 10 = 0 и -3•х – 6•у + 4,5•z – 7 = 0, содержащие скрещивающиеся прямые L1 и L2. Найдите расстояние между ними.
Решение.
Эти плоскости параллельны, потому что векторы их нормалей коллинеарны. Об этом говорит равенство:
2/-3 = 4/-6 = -3/4,5 = -2/3, где -2/3 – множитель.
6
Разделите первое уравнение на этот множитель:
-3•х – 6•у + 4,5•z – 15 = 0.
Тогда формула расстояния между прямыми преобразуется в такой вид:
d = |F - G|/√(A² + B² + C²) = 8/√(9 + 36 + 81/4) ≈ 1.