Как найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали

Параллелепипед – многогранная геометрическая фигура, обладающая несколькими интересными свойствами. Знание этих свойств помогает в решении задач. Существует, например, определенная связь между его линейными и диагональными измерениями, с помощью которой можно найти длины ребер параллелепипеда по диагонали.

Инструкция

1. Параллелепипед имеет одну особенность, не свойственную другим фигурам. Его грани попарно параллельны и имеют равные измерения и числовые характеристики, такие как площадь и периметр. Любую пару таких граней можно принять за основания, тогда оставшиеся будут составлять его боковую поверхность.
2. Можно найти длины рёбер параллелепипеда по диагонали, однако одной этой величины мало. Во-первых, обратите внимание на то, какая разновидность этой пространственной фигуры вам дана. Это может быть правильный параллелепипед, обладающий прямыми углами и равными измерениями, т.е. куб. В этом случае будет достаточно знать длину одной диагонали. Во всех остальных случаях должен быть, как минимум, еще один известный параметр.
3. Диагонали и длины сторон в параллелепипеде связаны определенным соотношением. Эта формула вытекает из теоремы косинусов и представляет собой равенство суммы квадратов диагоналей и суммы квадратов ребер:
   d1² + d2² + d3² + d4² = 4•а² + 4•b² + 4•c², где а – длина, b – ширина и c - высота.
4. Для куба формула упрощается:
   4•d² = 12•а²
   а = d/√3.
5. Пример: найти длину стороны куба, если его диагональ равна 5 см.
   Решение.
   25 = 3•а²
   а = 5/√3.
6. Рассмотрим прямой параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основаниям, а сами основания являются параллелограммами. Его диагонали попарно равны и связаны с длинами ребер по следующему принципу:
   d1² = а² + b² + c² + 2•а•b•cos α;
   d2² = а² + b² +c² – 2•а•b•cos α, где α – острый угол между сторонами основания.
7. Этой формулой можно воспользоваться, если известны, к примеру, одна из сторон и угол или эти величины могут быть найдены по другим условиям задачи. Решение упрощается, когда все углы в основании прямые, тогда:
   d1² + d2² = 2•а² + 2•b² + 2•c².
8. Пример: найдите ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда, если ширина b больше длины а на 1 см, высота c – в 2 раза больше, а диагональ d – в 3.
   Решение.
   Запишите основную формулу квадрата диагонали (в прямоугольном параллелепипеде они равны):
   d² = а² + b² + c².
9. Выразите все измерения через заданную длину а:
   b = а + 1;
   c = а•2;
   d = а•3.
   Подставьте в формулу:
   9•а² = а² + (а + 1)² + 4•а²
10. Решите квадратное уравнение:
    3•а² – 2•а – 1 = 0
    Найдите длины всех ребер:
    а = 1; b = 2; c = 2.