Инструкция
1
Необходимость в дифференциальных уравнениях возникает тогда, когда известны свойства функции, а сама она остается неизвестной величиной. Часто такая ситуация возникает при исследовании физических процессов. Свойства функции описываются ее производными или дифференциалом, поэтому единственным способом ее нахождения является интегрирование. Прежде чем приступать к решению, нужно определить вид дифференциального уравнения.
2
Существует несколько видов дифференциальных уравнений, простейшим из них является выражение у’ = f(х), где у’ = dу/dх. Кроме того, к этому виду может быть приведено равенство f(х)•у’ = g(х), т.е. у’ = g(х)/f(х). Разумеется, это возможно только при условии, что f(х) не обращается в ноль. Пример: 3^х•у’ = х² – 1 → у’ = (х² - 1)/3^х.
3
Дифференциальные уравнения с разделенными переменными называются так потому, что производная у’ в данном случае буквально разделена на две составляющие dу и dх, которые находятся по разные стороны от знака равно. Это уравнения вида f(у)•dу = g(х)•dх. Пример: (у² – sin у)•dу = tg х/(х - 1)•dх.
4
Два описанных вида дифференциальных уравнений носят название обыкновенных или сокращенно ОДУ. Однако уравнения первого порядка могут быть и более сложными, неоднородными. Они называются ЛНДУ – линейные неоднородные уравнения у’ + f(х)•у = g(х).
К ЛНДУ относится, в частности, уравнение Бернулли у’ + f(х)•у = g(х)•у^a. Пример: 2•у’ – х²•у = (ln х/х³)•у². А также уравнение в полных дифференциалах f(х, у)dх + g(х, у)dу = 0, где ∂fх(х, у)/∂у = ∂gу(х, у)/∂х. Пример: (х³ – 2•х•у)dх – х²dу = 0, где х³ – 2•х•у – частная производная по х от функции ¼•х^4 – х²•у + C, а (–х²) – ее частная производная по у.
К ЛНДУ относится, в частности, уравнение Бернулли у’ + f(х)•у = g(х)•у^a. Пример: 2•у’ – х²•у = (ln х/х³)•у². А также уравнение в полных дифференциалах f(х, у)dх + g(х, у)dу = 0, где ∂fх(х, у)/∂у = ∂gу(х, у)/∂х. Пример: (х³ – 2•х•у)dх – х²dу = 0, где х³ – 2•х•у – частная производная по х от функции ¼•х^4 – х²•у + C, а (–х²) – ее частная производная по у.
5
Простейшим видом ОДУ второго порядка является у’’ + p•у’ + q•у = 0, где p и q – постоянные коэффициенты. ЛНДУ второго порядка – это усложненная версия ОДУ, а именно у’’ + p•у’ + q•у = f(х). Пример: у’’ – 5•у’ + 13•у = sin х. Если p и q – функции аргумента х, то уравнение может выглядеть примерно так: у’’ – 5•х²•у’ + 13•(х - 1)•у = sin х.
6
Дифференциальные уравнения высших порядков подразделяются на три подвида: допускающие понижение порядка, уравнения с постоянными коэффициентами и с коэффициентами в виде функций аргумента х:
• Выражение f(х, у^(m), у^(m+1),…, у^(n)) = 0 не содержит производных ниже порядка m, значит, через замену z= у^(m) можно уменьшить порядок. Тогда уравнение преобразуется в вид f(х, z, z’,…, z^(n - m)) = 0. Пример: у’’’•х – 4•у² = у’ - 2 → z’’•х – 4•у² = z - 2, где z = у’ = dу/dх;
• ЛОДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = f(х) с постоянными коэффициентами pi. Примеры: у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 0 и у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 2•х³ – ln х;
• ЛОДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = f(х) с коэффициентами-функциями pi(х). Примеры: у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arсsin х•у’ + 9•х•у = 0 и у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arcsin х•у’ + 9•х•у = 2•х³ – ln х.
• Выражение f(х, у^(m), у^(m+1),…, у^(n)) = 0 не содержит производных ниже порядка m, значит, через замену z= у^(m) можно уменьшить порядок. Тогда уравнение преобразуется в вид f(х, z, z’,…, z^(n - m)) = 0. Пример: у’’’•х – 4•у² = у’ - 2 → z’’•х – 4•у² = z - 2, где z = у’ = dу/dх;
• ЛОДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p_(k-1)•у^(k-1) + … + p1•у’ + p0•у = f(х) с постоянными коэффициентами pi. Примеры: у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 0 и у^(3) + 2•у’’ – 15•у’ + 3•у = 2•х³ – ln х;
• ЛОДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = 0 и ЛНДУ у^(k) + p(х)_(k-1)•у^(k-1) + … + p1(х)•у’ + p0(х)•у = f(х) с коэффициентами-функциями pi(х). Примеры: у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arсsin х•у’ + 9•х•у = 0 и у’’’ + 2•х²•у’’ – 15•arcsin х•у’ + 9•х•у = 2•х³ – ln х.
7
Вид конкретного дифференциального уравнения не всегда бывает очевидным. Тогда следует внимательно рассмотреть его на предмет приведения к одному из канонических типов, чтобы применить соответствующий способ решения. Сделать это можно разными методами, наиболее распространенными из них являются замена и разложение производной на составляющие у’ = dу/dх.