Как найти площадь треугольника, образованного прямыми

Если предстоит найти площадь самого обычного треугольника, заданного прямыми, это автоматически подразумевает, что уравнения этих прямых тоже заданы. Именно на этом и будет базироваться ответ.

Инструкция

1. Считайте, что уравнения прямых, на которых лежат стороны треугольника известны. Это уже гарантирует, что все они лежат в одной плоскости и пересекаются между собой. Следует найти точки пересечения, решая системы, составленные из каждой пары уравнений. При этом каждая система в обязательном порядке будет иметь единственное решение. Задачу иллюстрирует рисунок 1. Считайте, что плоскость изображения принадлежит пространству и что уравнения для прямых, заданы параметрически. Они представлены на этом же рисунке.
2. Найдите координаты точки А (xa, ya, za), лежащей в пересечении f1 и f2 и составьте уравнение, где xa=x1 +m1*t1 или xa=х2 +m2*τ1. Следовательно, x1 +m1*t1=х2 +m2*τ1. Для координат ya и za аналогично. Возникла система (см. рис. 2). Эта система избыточна, так как для определения двух неизвестных вполне достаточно двух уравнений. Это означает, что одно из них является линейной комбинацией двух других. Ранее было оговорено, что решение гарантировано однозначно. Поэтому оставьте два, на ваш взгляд наиболее простых уравнения и, решив их, найдете t1 и τ1. Достаточно и одного из этих параметров. После этого найдите уа и za. В сокращенном виде основные формулы приведены на том же рисунке 2, так как доступный редактор может вызвать разночтения формул. Точки В(xb, yb, zb) и С(xc, yc, zc) найдите по аналогии с уже записанными выражениями. Просто заменяйте «лишние» параметры величинами соответствующими каждой из вновь применяемых прямых, оставляя неизменной нумерацию индексов.
3. Подготовительные действия завершены. Ответ можно получить на основании геометрического подхода или алгебраического (точнее векторного). Начните с алгебраического. Известно, что геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что его модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах. Найдите, скажем, векторы AB и AC. АВ={xb-xa, yb-ya, zb-za}, AC={xc-xa, yc-ya, zc-za}. Их векторное произведение [AB×AC] определите в координатной форме. Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма. Ответ вычислите в соответствии с формулой S=(1/2)|[AB×BC]|.
4. Для получения ответа на основе геометрического подхода найдите длины сторон треугольника. а=|BC|=√((xb-xa)^2+(yb-ya)^2+(zb-za)^2), b=|AC|=√((xc-xa)^2+(yc-ya)^2+(zc-za)^2), c=|AB|=√((xc-xb)^2+(yc-yb)^2+(zc-zb)^2). Вычислите полупериметр p=(1/2)(a+b+c). Определите площадь треугольника по формуле Герона S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).