Вам понадобится
- - прямоугольный треугольник;
- - известная длина катетов;
- - известная длина гипотенузы;
- - известные углы и одна из сторон;
- - известные длины частей, на которые биссектриса делит гипотенузу.
Инструкция
1
В первую очередь найдите гипотенузу. Пусть ваша гипотенуза будет равна с. Биссектриса прямого угла делит гипотенузу на две, чаще всего неравные, части. Обозначьте одну из них за х, а другая при этом будет равна с-х.
2
Можно поступить иначе: обозначьте две части за х и у, при этом будет выполняться условие х+у=с, его необходимо будет учесть при решении уравнения.
3
Воспользуйтесь следующей теоремой: отношения катетов и отношения прилежащих отрезков, на которые биссектриса прямого угла делит гипотенузу, равны. То есть разделите длину катетов друг на друга и приравняйте к отношению х/(с-х). При этом следите за тем, чтобы в числителе стоял прилежащий к х катет. Решите полученное уравнение и найдите х.
4
Попробуйте поступить по-другому: выразите катеты через гипотенузу и угол α. При этом прилежащий катет будет равен с*cosα, а противолежащий – с*sinα. Уравнение в этом случае получится в следующем виде: х/(с-х)= с*cosα/ с*sinα. После упрощения х=с*cosα/(sinα+cosα).
5
Узнав длину отрезков, на которые биссектриса прямого угла разделила гипотенузу, найдите длину самой гипотенузы при помощи теоремы синусов. Угол между катетом и биссектрисой вам известен - 45⁰, две стороны внутреннего треугольника тоже.
6
Подставьте данные в теорему синусов: х/sin45⁰=l/sinα. Упростив выражение, вы получите l=2xsinα/√2. Подставьте найденное значение х: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α). Это и есть биссектриса прямого угла, выраженная через гипотенузу.
7
Если вам даны катеты, у вас есть два варианта: либо найдите длину гипотенузы по теореме Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы и решайте указанным выше способом. Либо воспользуйтесь следующей готовой формулой: l=√2*ab/(a+b), где a и b – длины катетов.