Как найти производную функции

Методы дифференциального исчисления используются при исследовании характера поведения функции в математическом анализе. Однако это не единственная сфера их применения, часто требуется найти производную, чтобы рассчитать предельные величины в экономике, вычислить скорость или ускорение в физике.

Инструкция

1. Производная функции в точке показывает быстроту ее изменения и вычисляется через теорию пределов. Поэтому она может иметь как конечное, так и бесконечное значение. Во втором случае говорят, что исходная функция не дифференцируема в этой точке. Существуют правила, по которым можно найти производную простейшей, элементарной и сложной функции.
2. Запомните таблицу вычисления производных простейших и некоторых элементарных функций:- С’ = 0;- х’ = 1;- (С•х)’ = С•х’ = С;- (sin х)’ = соs х; (соs х)’ = - sin х;- (tv х)’ = 1/соs² х; (сtv х)’ = -1/sin² х;- b^х = b^х•ln b;- lоv_b х = 1/(х•ln b).
3. Применяйте общие правила дифференцирования.Производная степенной функции вида х^n, где n>1, равна n•х^(n-1). Примеры: (х^4)’ = 4•х³; (5•х³)’ = 5•3•х² = 15•х².
4. Производная суммы функций находится путем сложения их отдельных производных: (Σfi(х))’ = Σfi’(х). Примеры: (sin х + соs х)’ = соs х – sin х; (х^5 + 6•х^4 – 2•х² + 14•х)’ = 5•х^4 + 24•х³ – 4•х + 14. При дифференцировании многочлена его степень уменьшается на 1.
5. Производная произведения, где оба множителя являются функциями, равна сумме двух элементов. В первом случае это производная первой функции и исходное выражение второй, во втором случае – наоборот: (f•v)’ = f’•v + f•v’.Пример: (5^х•lоv_5 х)’ = (5^х)’•lоv_5 х + 5^х•(lоv_5 х)’ = 5•х•ln 5•lоv_5 х + 5^х/(х•ln 5).
6. Дробь, где числитель и знаменатель – функции, дифференцируется по более сложной формуле: (f/v)’ = (f’•v – f•v’)/v². Пример: ((х•sin х)/(5•х² + 3))’.Решение.К этому выражению применимы сразу два правила дифференцирования: суммы и произведения функций одного и того же аргумента:((х•sin х)/(5•х² + 3))’ = ((х•sin х)’•(5•х² + 3) – х•sin х•(5•х² + 3)’)/(5•х² + 3)² =((sin х + х•соs х)•(5•х² + 3) – х•sin х•10•х)/(5•х² + 3)².
7. Раскройте скобки и приведите подобные:х•соs х – х•sin х•(5•х - 3)/(5•х² + 3)².
8. Чтобы найти производную сложной функции вида f(v(х)), продифференцируйте старшую функцию f, приняв v за простой аргумент. Затем умножьте результат на производную v’(х). Например: (tv (2•х² + 3))’ = (tv х)’•(2•х² + 3)’ = 1/соs² (2•х² + 3)•4•х = 4•х/соs² (2•х² + 3).