Инструкция
1
На первом этапе любого алгоритма исследования математической функции следует найти область определения. Если этого не сделать, то все расчеты будут бесполезной тратой времени, поскольку на ее основе формируется область значений. Функция – это определенный закон, по которому элементы первого множества ставятся в соответствие другому.
2
Чтобы найти область определения функции, нужно рассмотреть ее выражение с точки зрения возможных ограничений. Это может быть присутствие дроби, логарифма, арифметического корня, степенной функции и т.д. Если таких элементов несколько, то для каждого из них составьте и решите свое неравенство, чтобы выявить критические точки. Если ни одного ограничения нет, то область определения представляет собой все числовое пространство (-∞; ∞).
3
Бывает шесть видов ограничений:
Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ≥ 0.
Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.
Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ≠ 0.
tg и ctg: x ≠ π/2 + π•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).
arcsin и arccos: -1 ≤ f ≤ 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.
Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.
Степенная функция вида f^(k/n), где знаменатель степени – четное число. Выражение, стоящее под корнем, не может быть меньше нуля, следовательно, неравенство выглядит так: f ≥ 0.
Функция логарифма. По свойству выражение, стоящее под его знаком, может быть только строго положительным: f > 0.
Дробь f/g, где g – тоже функция. Очевидно, что g ≠ 0.
tg и ctg: x ≠ π/2 + π•k, поскольку в этих точках эти тригонометрические функции не существуют (cos или sin, стоящие в знаменателе, обращаются в ноль).
arcsin и arccos: -1 ≤ f ≤ 1. Ограничение накладывается областью значений этих функций.
Степенная функция со степенью в виде другой функции того же аргумента: f^g. Ограничение представляется в виде неравенства f>0.
4
Чтобы найти область значения функции, подставьте в ее выражение все точки из области определения путем перебора одного за другим. Существует понятие множества значений функции на интервале. Эти два термина следует различать, за исключением случая, когда заданный интервал совпадает с областью определения. В противном случае это множество является подмножеством области значений.