Инструкция
1
Самое простое задание пирамиды - это представление ее координатами точек вершин. Можно использовать и другие представления, которые без труда переводятся как друг в друга, так и в предложенное. Для простоты рассмотрите треугольную пирамиду. Тогда в пространственном случае понятие «основание» становится весьма условным. Поэтому отличать его от боковых граней не следует. При произвольной пирамиде ее боковые грани все равно треугольники, а для составления уравнения плоскости основания все равно хватит трех точек.
2
Каждая грань треугольной пирамиды полностью определяется тремя точками вершин соответствующего треугольника. Пусть это М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Для нахождения уравнения плоскости, содержащей эту грань, используйте общее уравнение плоскости в виде A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Здесь (x0,y0,z0) – произвольная точка плоскости, в качестве которой используйте одну из трех заданных на данный момент, например М1(x1,y1,z1). Коэффициенты A, B, C образуют координаты вектора нормали к плоскости n={A, B, C}. Чтобы найти нормаль, можно использовать координаты вектора, равного векторному произведению [М1,М2] (см. рис. 1). Их и возьмите равными A, B C соответственно. Осталось найти скалярное произведение векторов (n, M1M) в координатной форме и приравнять его нулю. Здесь М(x,y,z) – произвольная (текущая) точка плоскости.
3
Полученный алгоритм построения уравнения плоскости по трем ее точкам можно сделать более удобным для применения. Обратите внимание, что найденная методика предполагает вычисление векторного произведения, а затем скалярного. Это не что иное, как смешанное произведение векторов. В компактной форме оно равно определителю, строки которого состоят из координат векторов М1М={x-x1, y-y1, z-z1}, M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1}, M1М3={x3-x1, y3-y1, z3-z1}. Приравняйте его нулю и получите уравнение плоскости в виде определителя (см. рис. 2). После его раскрытия придете к общему уравнению плоскости.
