Как найти среднее квадратичное отклонение

В теории вероятностей для определения точности полученной действительной величины применяют метод анализа результатов серии измерений, называемой выборкой. При этом возникают разного рода погрешности, которые нужно найти, например, среднее квадратичное отклонение.

Инструкция

1. Среднее квадратичное или, по-другому, среднеквадратическое отклонение является одной из самых распространенных стандартных величин для статистического анализа. Ее расчет применяют для того, чтобы определить меру точности вероятностной оценки некоторого события или величины.
2. Выборка – это множество значений рассматриваемой случайной величины, которые являются выборочными результатами серии однородных измерений. Ни один эксперимент не обходится без погрешностей, которые в данном случае характеризуются разбросом элементов выборки вокруг некоторого среднего значения, равного среднему арифметическому:хср = Σхi/n.
3. В случае, если требуется более высокая точность оценки, используют понятие взвешенного среднего квадратичного отклонения, тогда среднее значение рассчитывается с помощью введения вероятностей или весов элементов выборки:xср = ∑pi•xi/∑pi.
4. Чтобы найти среднее квадратичное отклонение, можно воспользоваться классической формулой:σ = √(∑(xi – xср)²/(n - 1)), где n – объем выборки.
5. Кроме того, есть две дополнительные формулы, в одной из которых также предполагается поиск среднего значения, а в другой этого делать не требуется:σ = √((∑xi² – n•xср²)/(n - 1));σ = √((∑xi² – ((∑xi)²/n)/(n - 1)).
6. То, какую из этих трех формул выбрать, зависит от исходных данных задачи. Легче всего преобразовать их в табличный вид, это увеличит скорость решения и сделает его более наглядным.
7. Чтобы найти среднее квадратичное отклонение, в первом столбце перечислите элементы выборки, во втором – их квадраты. Определите среднее арифметическое и заполните третий столбец, вписав соответствующие разности xi – xср. В четвертом столбце запишите то же число, возведенное в квадрат, просуммируйте значения столбца и разделите получившуюся величину на объем выборки, уменьшенный на 1.
8. В случае среднего взвешенного отклонения задача немного усложняется. Первый и второй столбцы остаются неизменными, в третий впишите вероятности, просуммируйте. Четвертая колонка будет содержать произведение элементов на их весы, просуммируйте и разделите результат на итоговую величину второго столбца. Так вы найдете среднее взвешенное.
9. Разместите в пятом столбце разность по каждому элементу с вычетом среднего взвешенного, в шестом – то же самое возведите в квадрат и посчитайте итоговую сумму. И, наконец, разделите ее на n-1.
10. Описанные алгоритмы применимы для классической формулы, для двух других последовательность действий несколько иная, однако принцип тот же – использование таблиц. Особенно это актуально, если выборка слишком большая. В этом случае воспользуйтесь компьютерной программой, например, Microsoft Excel.