Как вычислить вторую производную

Математические методы применяются во многих областях науки. Это утверждение касается, в частности, дифференциального исчисления. Например, если вычислить вторую производную функции расстояния от переменной времени, то можно найти ускорение материальной точки.

Инструкция

1. Дифференцирование функции при каждом значении области ее определения приводит к появлению новой функции. Таким образом, она тоже может быть продифференцирована. Результатом этой вторичной операции будет вторая производная исходной функции.
2. Правила и методы дифференцирования сохраняются для производных высших порядков. Это касается некоторых элементарных функций, операций сложения, произведения и деления, а также сложных функций вида u(g(х)):• u’ = С’ = 0 – производная константы;• u’ = х’ = 1 – простейшая функция одного аргумента;• u’ = (х^а)’ = а•х^(а-1);• u’ = (а^х)’ = а^х•ln а – показательная функция;
3. Основные тригонометрические функции также являются табличными:• u’ = (sin х)’ - соs х;• u’ = (соs х)’ = -sin х;• u’ = (tg х)’ = 1/соs² х;• u’ = (ctg х)’ = - 1/sin² х.
4. Арифметические операции пары функций u(х) и g(х):• (u + g)’ = u’ + g’;• (u•g)’ = u’•g + g’•u;• (u/g)’ = (u’•g – g’•u)/g².
5. Довольно трудно вычислить вторую производную сложной функции. Для этого применяют методы численного дифференцирования, хотя результат получается приближенным, присутствует так называемая погрешность аппроксимации α:u’’(х) = (u(х + h) – 2•u(х) + u(х - h))/h² + α(h²) – интерполяционный многочлен Ньютона;u’’(х) = (-u(х + 2•h) + 16•u(х + h) – 30•u(х) + 16•u(х - h) – u(х – 2•h))/(12•h²) + α(h²) – формула Стрилинга.
6. В этих формулах присутствует некая величин h. Она называется шагом аппроксимации, выбор которого должен быть оптимальным, чтобы минимизировать погрешность вычисления. Подбор правильного значения h называется регуляцией по шагу:|u(х + h) – u(х)| > ε, где ε бесконечно мало.
7. Метод вычисления второй производной применяется при нахождения полного дифференциала второго порядка. При этом она частным образом рассчитывается для каждого аргумента и участвует в конечном выражении в виде множителя соответствующего дифференциала dх, dy и т.д.:d² u = ∂u’/∂х •d²х + ∂u’/∂y •d²у + ∂u’/∂z •d²z.
8. Пример: найдите вторую производную функции u = 2•х•sin х – 7•х³ + х^5/tg х.
9. Решениеu’ = 2•sin x + 2•х•соs х – 21•х² + 5•х^4/tg х – х²/sin² х;u’’ = 4•соs х – 2•х•sin х – 42•х + 20•х³/tg х – 5•х^4/sin² х – 2•х/sin² х + 2•х²•соs х/sin³ х.