Как вычислить частную производную

Частные производные – основные составляющие полного дифференциала функции. Это понятие относится к каждому из аргументов и предполагает вычисление исходя из допущения, что другие аргументы в данном случае являются константами.

Инструкция

1. Чтобы найти полный дифференциал функции нескольких переменных, нужно вычислить частную производную по каждой из них. Методы решения аналогичны нахождению производной функции одного аргумента за тем исключением, что в качестве одного или нескольких постоянных слагаемых или множителей выступают другие переменные.
2. Принципы определения производной базируются на дифференцировании простейших и тригонометрических функциях:• (x^a)’ = a•x^(a-1);• (a^x)’ = a^x•ln(a);• (sin х)’ = cоs х;• (cоs x)’ = - sin х;• (tg х)’ = 1/cоs² х;• (сtg х)’ = - 1/sin² х;• С’ = 0, С – константа;• х’ = 1.
3. Производная функции, содержащей переменные высокой степени, определяется по формуле Лейбница:f^(n) = Σ C(n)^k•f^(n-k), где C(n)^k – биномиальные коэффициенты.
4. Рассмотрите пример: f = 2•х•у² + 5•y•z^5 + 3•x²•√z.
5. Определите частную производную по х. При этом каждое из слагаемых представьте в виде функции от х. В данном случае элементы 2•у², 5•y•z^5 и 3•√z будут постоянными величинами:f’x = 2•y² + 0 + 6•x•√z;
6. При определении частной производной по y примите за постоянные выражения 2•x, 5•z^5 и 3•x²•√z:f’y = 4•x•у + 5•z^5 + 0;
7. Частная производная по аргументу z предполагает объявление константами множители 5•y, 3•x² и слагаемое 2•x•y²:f’z = 0 + 25•y•z^4 + 3/2•x²/√z.
8. Частные производные используются при решении дифференциальных уравнений. При этом больше распространена запись ∂f/∂x, которая в отличие от обычной производной df/dx воспринимается как единое обозначение, а не как отношение приращения функции и аргумента. Элементы записи нельзя разделить.
9. Результаты описанного примера можно записать в виде полного дифференциала функции:df = ∂f/∂x •dx + ∂f/∂y •dу + ∂f/∂z •dz = 2•(y² + 3•x•√z)•dx + (4•x•y + 5•z^5)•dy + (25•y•z^4 + (3•x²)/(2•√z))•dz.
10. Чтобы найти частные производные более высоких порядков, нужно продифференцировав функцию соответствующее количество раз. Например, полный дифференциал второго порядка приведенной функции будет выглядеть следующим образом:d²f = (6•√z)•d²x + (4•x)•d²у + (-3/4•x²/√z³)•d²z.А дифференциал третьего порядка вот так:d³f = 0•d³x + 0•d³y + (9/8•x²/√z^5)•d³z и т.д.