Как построить октаэдр

Правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. Они носят название «платоновых» тел. Четыре правильных многогранника – тетраэдр, икосаэдр, куб и октаэдр – олицетворяют четыре «сущности», стихии. Октаэдр символизирует воздух.

Вам понадобится

• - бумага;
• - карандаш;
• - линейка.

Инструкция

1. Октаэдр состоит из восьми граней, являющихся правильными треугольниками. В правильном треугольнике все стороны равны между собой. Углы между сторонами такого треугольника составляют 60°. Высоты, медианы, биссектрисы совпадают. Для построения правильного октаэдра понадобится куб.
2. Чтобы построить куб, начертите квадрат. Отступите некоторое расстояние вправо и вверх, постройте еще один такой же квадрат (левая и нижняя линии будут пунктирными). Соедините соответствующие парные точки обоих квадратов до визуализации куба. Поскольку на его основе вы будете строить октаэдр, сделайте его большим и четким.
3. Пусть дан куб. Необходимо построить октаэдр, вписанный в него. Проведите диагонали для каждой грани куба. Отметьте точки пересечения диагоналей. Соедините все полученные точки друг с другом. Правильный октаэдр, вписанный в куб, готов.
4. Для доказательства, что полученная фигура – правильный октаэдр, необходимо доказать правильность треугольников. Чтобы доказать, что треугольники-грани – правильные, проведите перпендикуляры от их вершин к ребрам куба. Используйте свойства прямоугольных треугольников и куба.
5. Можно также построить октаэдр, описанный около заданного куба. Пусть a – длина ребра куба. Найдите центры каждой грани (это точки пересечения диагоналей). Проведите прямые через центры противоположных граней. Они пересекутся в центре куба, который можно обозначить за точку О.
6. Итак, имеются две прямые, пересекающиеся в точке О. Отложите на каждой из прямых по обе стороны отрезок, равный 3a/2. Соедините концы полученных вами отрезков. Это и будет каркас правильного октаэдра, описанного около куба.