Инструкция
1
Рассмотрите механическую задачу, для решения которой требуется векторное произведение. Как известно, момент силы относительно центра равен произведению этой силы на ее плечо (см. рис. 1а). Плечо h в ситуации, представленной на рисунке определяется по формуле h=|OP|sin(π-φ)=|OP|sinφ. Здесь F приложена к точке Р. С другой стороны Fh равно площади параллелограмма построенного на векторах ОР и F.
2
Сила F вызывает вращение Р относительно 0. В результате получается вектор, направленный по известному правилу «буравчика». Поэтому произведение Fh является модулем вектора момента силы OMo, который перпендикулярен плоскости, содержащей векторы F и OMo.
3
По определению векторное произведение a и b – это вектор с, обозначаемый с=[а,b] (имеются и другие обозначения, чаще всего через перемножение «крестиком»).с должен удовлетворять следующим свойствам:1) с ортогонален (перпендикулярен) а и b;2) |c|=|a||b|sinф, где ф угол между а и b;3) тройка веторов а, b и с правая, то есть кратчайший поворот от a к b производится против часовой стрелки.
4
Не вдаваясь в подробности, следует отметить, что для векторного произведения справедливы все арифметические действия кроме свойства коммутативности (перестановки), то есть [а,b] не равно [b,а].Геометрический смысл векторного произведения: его модуль равен площади параллелограмма (см. рис. 1b).
5
Нахождение векторного произведения согласнопо определения порой весьма затруднительно. Чтобы решить поставленную задачу, удобно использовать данные в координатной форме. Пусть в декартовых координатах:a(ax, ay, az)=ax*i+ay*j+az*k, a b(bx, by, bz)=bx*i+by*j+bz*k , где i, j, k - векторы-орты координатных осей.
6
В данном случае перемножение по правилам раскрытия скобок алгебраического выражения. При этом учтите, что sin(0)=0, sin(π/2)=1, sin(3π/2)=-1, модуль каждого орта равен 1 и тройка i, j, k правая, а сами векторы взаимно ортогональны. Тогда получите:с=[а,b]= (ay*bz- az*by)i- (ax*bz- az*bx)j+ (ax*by- ay*bx)k=с((ay*bz- az*by), (az*bx- ax*bz), (ax*by- *bx)). (1)Эта формула и является правилом вычисления векторного произведения в координатной форме. Ее недостаток – громоздкость и, как следствие, трудная запоминаемость.
7
Для упрощения методики вычисления векторного произведения используйте вектор- определитель, представленный на рисунке 2.Из данных, приведенных на рисунке, следует, что на следующем шаге раскрытия этого определителя, которое велось по его первой строке, как раз и возникает алгоритм (1). Как видите, здесь нет особых проблем с запоминанием.