Как найти общее решение дифференциального уравнения?

Любое дифференциальное уравнение (ДУ), кроме искомой функции и аргумента содержит в себе производные этой функции. Дифференцирование и интегрирование являются обратными операциями. Поэтому процесс решения (ДУ) часто называют его интегрированием, а само решение – интегралом. Неопределенные интегралы содержат произвольные константы, поэтому в ДУ также содержатся константы, а само решение, определенное с точностью до констант, является общим.

Инструкция

1. Общее решение ДУ любого порядка составлять совершенно незачем. Оно образуется само собой, если в процессе его получения не использовались начальные или краевые условия. Другое дело, если определенного решения не было, и они выбирались по заданным алгоритмам, полученным на основе теоретических сведений. Именно так и происходит, если речь идет о линейных ДУ с постоянным коэффициентами n-го порядка.
2. Линейное однородное ДУ (ЛОДУ) n-го порядка имеет вид (см. рис. 1).Если его левую часть обозначить как линейный дифференциальный оператор L[y], то ЛОДУ перепишется в виде L[y]=0, и L[y]=f(x) – для линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ).
3. Если искать решения ЛОДУ в виде y=exp(k∙x), то y’=k∙exp(k∙x), y’’=(k^2)∙exp(k∙x), …, y^(n-1)=(k^(n-1))∙exp(k∙x), y^n=(k^n)∙exp(k∙x). После сокращения на y=exp(k∙x), вы придете к уравнению: k^n+(a1)k^(n-1)+…+a(n-1)∙k+an=0, называемому характеристическим. Это обычное алгебраическое уравнение. Таким образом, если k - корень характеристического уравнения, то функция y=exp[k∙x] - решение ЛОДУ.
4. Алгебраическое уравнение n-й степени имеет n корней (с учетом кратных и комплексных). Каждому вещественному корню ki кратности «один» соответствует функция y=exp[(ki)x], поэтому, если все они действительные и различные, то с учетом того, что любая линейная комбинация этих экспонент тоже является решением, можно составить общее решение ЛОДУ: y=C1∙exp[(k1)∙x]+ C2∙exp[(k2)∙x]+…+Cn∙exp[(kn)∙x].
5. В общем случае, среди решений характеристического уравнения могут находиться вещественные кратные и комплексно сопряженные корни. При построении общего решения в обозначенной ситуации ограничьтесь ЛОДУ второго порядка. Здесь возможно получение двух корней характеристического уравнения. Пусть это будет комплексно сопряженная пара k1=p+i∙q и k2=p-i∙q. Применение экспонент с такими показателями даст комплексно-значные функции при исходном уравнении с действительными коэффициентами. Поэтому их преобразуют по формуле Эйлера и приводят к виду y1=exp(p∙x)∙sin(q∙x) и y2=exp(p∙x)cos(q∙x). Для случая одного вещественного корня кратности r=2 используют y1=exp(p∙x) и y2=x∙exp(p∙x).
6. Окончательный алгоритм. Требуется составить общее решение ЛОДУ второго порядка y’’+a1∙y’+a2∙y=0.Составьте характеристическое уравнение k^2+a1∙k+a2=0.Если оно имеет действительные корни k1≠k2, то его общее решение выберите в виде y=C1∙exp[(k1)∙x]+ C2∙exp[(k2)∙x].Если имеется один действительный корень k, кратности r=2, то y=C1∙exp[k∙x]+ C2∙x∙exp[k2∙x]=exp[k∙x](C1+ C2∙x∙exp[k∙x]).Если имеется комплексно сопряженная пара корней k1=p+i∙q и k2=p-i∙q, то ответ запишите в виде y=C1∙exp(p∙x)sin(q∙x)++C2∙exp(p∙x)cos(q∙x).