Инструкция
1
Точка разрыва на графике функции возникает тогда, когда в ней нарушается непрерывность функции. Для того, чтобы функция была непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы его левосторонний и правосторонний пределы в этой точке были равны между собой и совпадали со значением самой функции.
2
Существует два типа точек разрыва – первого и второго рода. В свою очередь, точки разрыва первого рода бывают устранимые и неустранимые. Устранимый разрыв появляется, когда односторонние пределы равны между собой, но не совпадают со значением функции в этой точке.
3
И напротив, он является неустранимым, когда пределы не равны между собой. В этом случае точка разрыва первого рода называется скачком. Разрыв второго рода характеризуется бесконечным или не существующим значением как минимум одного из односторонних пределов.
4
Чтобы исследовать функцию на точки разрыва и определить их род, разделите задачу на несколько этапов: найдите область определения функции, определите пределы функции слева и справа, сравните их значения со значением функции, определите тип и род разрыва.
5
Пример.
Найдите точки разрыва функции f(x) = (x² - 25)/(x - 5) и определите их тип.
Найдите точки разрыва функции f(x) = (x² - 25)/(x - 5) и определите их тип.
6
Решение.
1. Найдите область определения функции. Очевидно, что множество ее значений бесконечно за исключением точки x_0 = 5, т.е. x ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞). Следовательно, точкой разрыва предположительно может быть только она;
2. Вычислите односторонние пределы. Исходную функцию можно упростить до вида f(x) -> g(x) = (x + 5). Нетрудно увидеть, что эта функция непрерывна при любом значении x, поэтому ее односторонние пределы равны между собой: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
1. Найдите область определения функции. Очевидно, что множество ее значений бесконечно за исключением точки x_0 = 5, т.е. x ∈ (-∞; 5) ∪ (5; +∞). Следовательно, точкой разрыва предположительно может быть только она;
2. Вычислите односторонние пределы. Исходную функцию можно упростить до вида f(x) -> g(x) = (x + 5). Нетрудно увидеть, что эта функция непрерывна при любом значении x, поэтому ее односторонние пределы равны между собой: lim (x + 5) = 5 + 5 = 10.
7
3. Определите, совпадают ли значения односторонних пределов и функции в точке x_0 = 5:
f(x) = (x² - 25)/(x - 5). Функция не может быть определена в этой точке, потому что тогда знаменатель обратится в ноль. Следовательно, в точке x_0 = 5 функция имеет устранимый разрыв первого рода.
f(x) = (x² - 25)/(x - 5). Функция не может быть определена в этой точке, потому что тогда знаменатель обратится в ноль. Следовательно, в точке x_0 = 5 функция имеет устранимый разрыв первого рода.
8
Разрыв второго рода называется бесконечным. Например, найдите точки разрыва функции f(x) = 1/x и определите их тип.
Решение.
1. Область определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞);
2. Очевидно, что левосторонний предел функции стремится к -∞, а правосторонний – к +∞. Следовательно, точка x_0 = 0 является точкой разрыва второго рода.
Решение.
1. Область определения функции: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞);
2. Очевидно, что левосторонний предел функции стремится к -∞, а правосторонний – к +∞. Следовательно, точка x_0 = 0 является точкой разрыва второго рода.