Как определить координаты центра тяжести

В однородном гравитационном поле центр тяжести совпадает с центром масс. В геометрии понятия «центр тяжести» и «центр масс» также эквивалентны, поскольку существование гравитационного поля не рассматривается. Центр масс называется еще центром инерции и барицентром (от греч. barus − тяжелый, kentron − центр). Он характеризует движение тела или системы частиц. Так, при свободном падении тело вращается вокруг своего центра инерции.

Инструкция

1. Пусть система состоит из двух одинаковых точек. Тогда центр тяжести, очевидно, располагается посередине между ними. Если точки с координатами x1 и x2 имеют разные массы m1 и m2, то координата центра масс x(c)=(m1·x1+m2·x2)/(m1+m2). В зависимости от выбранного «нуля» системы отсчета, координаты могут быть и отрицательными.
2. Точки на плоскости имеют две координаты: x и y. При задании в пространстве добавляется еще третья координата z. Чтобы не расписывать каждую координату в отдельности, удобно рассматривать радиус-вектор точки: r=x·i+y·j+z·k, где i,j,k − орты координатных осей.
3. Пусть теперь система состоит из трех точек с массами m1, m2 и m3. Их радиус-векторы, соответственно, r1, r2 и r3. Тогда радиус-вектор их центра тяжести r(c)=(m1·r1+m2·r2+m3·r3)/(m1+m2+m3).
4. Если система состоит из произвольного числа точек, тогда радиус-вектор, по определению, находится по формуле:
   r(c)=∑m(i)·r(i)/∑m(i). Суммирование производится по индексу i (записывается снизу от знака суммы ∑). Здесь m(i) − масса некоторого i-го элемента системы, r(i) − его радиус-вектор.
5. Если тело однородно по массе, сумма переходит в интеграл. Разбейте мысленно тело на бесконечно маленькие кусочки массой dm. Поскольку тело однородно, массу каждого кусочка можно записать как dm=ρ·dV, где dV − элементарный объем этого кусочка, ρ − плотность (одинакова по всему объему однородного тела).
6. Интегральное суммирование массы всех кусочков даст массу всего тела: ∑m(i)=∫dm=M. Итак, получается r(c)=1/M·∫ρ·dV·dr. Плотность, постоянную величину, можно вынести из-под знака интеграла: r(c)=ρ/M·∫dV·dr. Для непосредственного интегрирования понадобится установить конкретную функцию между dV и dr, которая зависит от параметров фигуры.
7. К примеру, центр тяжести отрезка (длинного однородного стержня) находится посередине. Центр масс сферы и шара располагается в центре. Барицентр конуса находится на четверти высоты осевого отрезка, считая от основания.
8. Барицентр некоторых простых фигур на плоскости легко определить геометрически. Например, для плоского треугольника это будет точка пересечения медиан. Для параллелограмма − точка пересечения диагоналей.
9. Центр тяжести фигуры можно определить и опытным путем. Вырежьте из листа плотной бумаги или картона любую фигуру (например, тот же треугольник). Попробуйте установить ее на кончике вертикально вытянутого пальца. То место на фигуре, для которого получится это сделать, и будет являться центром инерции тела.